Упр.3.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) y=sinx, x принадлежит [-3пи/2; -пи/2];
б) y=cosx, x принадлежит [пи;2пи],
и постройте ее график.

а) Пусть $$y=\sin x,$$ где $$x\in\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right].$$

Сделаем замену $$t=x+\pi.$$ Тогда

$$-\frac{\pi}{2}\le t\le \frac{\pi}{2}.$$

Используем формулу:

$$\sin x=\sin(t-\pi)=-\sin t.$$

Значит,

$$y=-\sin t.$$

Так как на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$\sin t$$ взаимно однозначна, то

$$t=-\arcsin y.$$

Тогда

$$x=t-\pi=-\arcsin y-\pi.$$

Следовательно, обратная функция:

$$\varphi(x)=-\arcsin x-\pi,\qquad x\in[-1;1].$$

Её график получается отражением графика $$y=\sin x$$ на данном промежутке относительно прямой $$y=x$$.

б) Пусть $$y=\cos x,$$ где $$x\in[\pi;2\pi].$$

Сделаем замену $$t=x-\pi.$$ Тогда

$$0\le t\le \pi.$$

Используем формулу:

$$\cos x=\cos(t+\pi)=-\cos t.$$

Значит,

$$y=-\cos t.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ функция $$\cos t$$ взаимно однозначна, поэтому

$$t=\arccos(-y)=\pi-\arccos y.$$

Тогда

$$x=t+\pi=2\pi-\arccos y.$$

Следовательно, обратная функция:

$$\varphi(x)=2\pi-\arccos x,\qquad x\in[-1;1].$$

График этой функции — отражение графика $$y=\cos x$$ на отрезке $$[\pi;2\pi]$$ относительно прямой $$y=x$$.

Ответ

а) $$\varphi(x)=-\arcsin x-\pi,\quad x\in[-1;1].$$

б) $$\varphi(x)=2\pi-\arccos x,\quad x\in[-1;1].$$