Упр.3.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Дайте определение функции: а) $$y=\arcsin x$$; б) $$y=\arccos x$$; в) $$y=\arctg x$$; г) $$y=\arcctg x$$. Сформулируйте ее свойства, постройте ее график.

Подробный ответ

а) $$y=\arcsin x$$

Если каждому числу $$x\in[-1;1]$$ поставить в соответствие число $$\arcsin x$$, то получим функцию $$y=\arcsin x$$.

Свойства:

область определения: $$[-1;1]$$;
область значений: $$\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$$;
функция нечётная;
точка $$\left(0;0\right)$$ — единственная точка пересечения графика с осями координат;
возрастает на всей области определения;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
график проходит через точки $$\left(-1;-\dfrac{\pi}{2}\right)$$, $$\left(0;0\right)$$, $$\left(1;\dfrac{\pi}{2}\right)$$.

График — возрастающая кривая, проходящая через указанные точки.

б) $$y=\arccos x$$

Если каждому числу $$x\in[-1;1]$$ поставить в соответствие число $$\arccos x$$, то получим функцию $$y=\arccos x$$.

Свойства:

область определения: $$[-1;1]$$;
область значений: $$[0;\pi]$$;
функция не является ни чётной, ни нечётной;
точки $$\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$$ и $$\left(1;0\right)$$ являются точками пересечения графика с осями координат;
убывает на всей области определения;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
график проходит через точки $$\left(-1;\pi\right)$$, $$\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$$, $$\left(1;0\right)$$.

График — убывающая кривая на отрезке $$[-1;1]$$.

в) $$y=\arctg x$$

Если каждому числу $$x\in\mathbb{R}$$ поставить в соответствие число $$\arctg x$$, то получим функцию $$y=\arctg x$$.

Свойства:

область определения: $$\mathbb{R}$$;
область значений: $$\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$$;
функция ограничена;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
функция нечётная;
точка $$\left(0;0\right)$$ — единственная точка пересечения графика с осями координат;
возрастает на всей области определения;
убывает нигде не является;
горизонтальные асимптоты: $$y=\dfrac{\pi}{2}$$ и $$y=-\dfrac{\pi}{2}$$.

График — возрастающая кривая, проходящая через начало координат и стремящаяся к прямым $$y=\pm\dfrac{\pi}{2}$$.

г) $$y=\operatorname{arcctg} x$$

Если каждому числу $$x\in\mathbb{R}$$ поставить в соответствие число $$\operatorname{arcctg} x$$, то получим функцию $$y=\operatorname{arcctg} x$$.

Свойства:

область определения: $$\mathbb{R}$$;
область значений: $$\left(0;\pi\right)$$;
функция ограничена;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
функция не является ни чётной, ни нечётной;
точка $$\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$$ — единственная точка пересечения графика с осями координат;
убывает на всей области определения;
горизонтальные асимптоты: $$y=\pi$$ и $$y=0$$.

График — убывающая кривая, проходящая через точку $$\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$$ и стремящаяся к прямым $$y=0$$ и $$y=\pi$$.

Ответ

Функции $$y=\arcsin x$$, $$y=\arccos x$$, $$y=\arctg x$$ и $$y=\operatorname{arcctg} x$$ определяются как обратные к соответствующим тригонометрическим функциям на их областях значений; их основные свойства указаны выше.