Упр.29 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 29 (РЭА). Вычислите:

Подробный ответ

а) Упростим выражение:
$$\frac{(a-b)^3(\sqrt a+\sqrt b)^{-3}+2a\sqrt a+b\sqrt b}{a\sqrt a+b\sqrt b}$$
$$\frac{\dfrac{(a-b)^3}{(\sqrt a+\sqrt b)^3}+2a\sqrt a+b\sqrt b}{a\sqrt a+b\sqrt b} = \frac{(a-b)^3+( \sqrt a+\sqrt b)^3(2a\sqrt a+b\sqrt b)}{(a\sqrt a+b\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)^3}$$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$$ (a-b)^3+( \sqrt a+\sqrt b)^3(2a\sqrt a+b\sqrt b)=3\sqrt a\,(a+2\sqrt{ab}+b)(a\sqrt a+b\sqrt b). $$
Тогда
$$\frac{3\sqrt a\,(a+2\sqrt{ab}+b)(a\sqrt a+b\sqrt b)}{(a\sqrt a+b\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)^3} = \frac{3\sqrt a\,(a+2\sqrt{ab}+b)}{(\sqrt a+\sqrt b)^3}.$$
Так как
$$a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a+\sqrt b)^2,$$
то
$$\frac{3\sqrt a\,(\sqrt a+\sqrt b)^2}{(\sqrt a+\sqrt b)^3} = \frac{3\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b}.$$
При $$a=\log_3^2 8,\quad b=\log_{1/3}^2 4$$ получаем:
$$\sqrt a=\log_3 8,\qquad \sqrt b=\left|\log_{1/3}4\right|=\log_3 4.$$
Тогда
$$\frac{3\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b} = \frac{3\log_3 8}{\log_3 8+\log_3 4} = \frac{9\log_3 2}{3\log_3 2+2\log_3 2} = \frac{9}{5}.$$
б) Упростим выражение:
$$\frac{c+d}{2\sqrt{c^3}}\left(\sqrt{\frac{c^2-cd}{c+d}}+\sqrt{\frac{c^2+cd}{c-2}}\right)$$
После преобразований получаем:
$$\frac{\sqrt{c+d}}{2c}\cdot \frac{c-d+c+d}{\sqrt{c-d}} = \sqrt{\frac{c+d}{c-d}}.$$
При $$c=17\log_2 3,\quad d=-8\log_2 3$$ имеем:
$$\sqrt{\frac{c+d}{c-d}} = \sqrt{\frac{9\log_2 3}{25\log_2 3}} = \frac{3}{5}.$$
в) Упростим выражение:
$$\left(\frac{1}{\left(\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{g}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{g}\right)^2}\right)\cdot \frac{p-g}{\sqrt p+\sqrt g}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\left(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{g}\right)^2+\left(\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{g}\right)^2}{\left(\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{g}\right)^2\left(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{g}\right)^2}\cdot \frac{p-g}{\sqrt p+\sqrt g}.$$
Так как
$$\left(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{g}\right)^2+\left(\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{g}\right)^2=2(\sqrt p+\sqrt g),$$
а
$$\left(\sqrt[4]{p}-\sqrt[4]{g}\right)^2\left(\sqrt[4]{p}+\sqrt[4]{g}\right)^2=(\sqrt p-\sqrt g)^2,$$
то
$$\frac{2(\sqrt p+\sqrt g)}{(\sqrt p-\sqrt g)^2}\cdot \frac{p-g}{\sqrt p+\sqrt g} = \frac{2(p-g)}{(\sqrt p-\sqrt g)^2}.$$
Поскольку
$$p-g=(\sqrt p-\sqrt g)(\sqrt p+\sqrt g),$$
получаем
$$\frac{2(\sqrt p+\sqrt g)}{\sqrt p-\sqrt g}.$$
При $$p=\log_{1/2}^2 3,\quad g=\log_2^2 9$$ имеем:
$$\sqrt p=\log_2 3,\qquad \sqrt g=2\log_2 3.$$
Тогда
$$\frac{2(\sqrt p+\sqrt g)}{\sqrt p-\sqrt g} = \frac{2(\log_2 3+2\log_2 3)}{\log_2 3-2\log_2 3} = -6.$$