Упр.286 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть число $$p$$ является делителем чисел $$k^3+9k$$ и $$k^4+12k^2+12.$$ Тогда оно делит и их линейную комбинацию:

$$k(k^3+9k)=k^4+9k^2,$$

значит, $$p$$ делит разность

$$\left(k^4+12k^2+12\right)-\left(k^4+9k^2\right)=3k^2+12.$$

Аналогично, если $$p$$ делит $$3k^2+12$$ и $$k^3+9k,$$, то оно делит

$$3(k^3+9k)-k(3k^2+12)=15k.$$

Следовательно, $$p$$ является общим делителем чисел $$3k^2+12$$ и $$15k,$$ а значит, делит и число

$$5(3k^2+12)-k\cdot 15k=60.$$

Число $$60$$ имеет ровно три различных простых делителя: $$2, 3, 5.$$ Остаётся проверить, при каких простых $$k$$ одно из чисел $$2, 3, 5$$ действительно является общим делителем чисел $$k^4+12k^2+12$$ и $$k^3+9k.$$

Если $$k$$ чётное, то число $$2$$ является общим делителем данных чисел.

Если $$k$$ кратно $$3,$$ то число $$3$$ является общим делителем данных чисел.

Если $$k=1,$$ то число $$5$$ является общим делителем данных чисел.

Ответ: $$2, 3, 5$$.