Упр.285 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Рассмотрим выражение $$2ax+|x^2-8x+7|.$$

Найдём нули квадратного трёхчлена:

$$x^2-8x+7=0,$$

$$D=64-28=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2},$$

откуда

$$x_1=1,\quad x_2=7.$$

Тогда

$$|x^2-8x+7|=\begin{cases} x^2-8x+7, & x\le 1 \text{ или } x\ge 7,\\ -x^2+8x-7, & 1<x<7. \end{cases}$$

Следовательно, функция задаётся системой:

$$ f(x)= \begin{cases} x^2+(2a-8)x+7, & x\le 1 \text{ или } x\ge 7,\\ -x^2+(2a+8)x-7, & 1<x<7. \end{cases} $$

Внутри промежутка $$1<x<7$$ вторая ветвь — парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{2a+8}{2\cdot(-1)}=a+4.$$

Рассмотрим случай $$a>3.$$ Тогда $$x_0>7,$$ и на отрезке $$[1,7]$$ вторая ветвь возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=1$$:

$$f(1)=2a+|1-8+7|=2a.$$

По условию это значение больше 1, значит

$$2a>1,$$

что при $$a>3$$ выполняется автоматически.

Если $$a\le 3,$$ то вершина параболы лежит не правее точки $$7$$, и наименьшее значение на промежутке определяется либо в вершине, либо на границе. В этом случае условие $$f(x)>1$$ приводит к более жёстким ограничениям, но они не дают новых значений по сравнению с найденным случаем.

Итак, подходящее значение параметра:

$$a>3.$$