Упр.283 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} 4^x \le 9\cdot 2^x + 22,\\ \log_3(x^2-x-2)\le 1+\log_3\frac{x+1}{x-2}. \end{cases}$$

Так как

$$x^2-x-2=(x+1)(x-2),$$

то второе неравенство равносильно

$$\log_3(x+1)+\log_3(x-2)\le 1+\log_3(x+1)-\log_3(x-2).$$

Перенесём логарифмы в одну сторону:

$$2\log_3(x-2)\le 1.$$

Отсюда

$$\log_3(x-2)\le \frac12,$$

значит,

$$x-2\le \sqrt3.$$

С учётом области определения логарифмов получаем:

$$x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty),\qquad x\le \sqrt3+2.$$

Теперь решим первое неравенство:

$$4^x-9\cdot 2^x-22\le 0.$$

Сделаем замену:

$$2^x=t,\qquad t>0.$$

Тогда

$$t^2-9t-22\le 0.$$

Корни квадратного трёхчлена:

$$t_1=-2,\qquad t_2=11.$$

С учётом условия $$t>0$$ получаем:

$$0<t\le 11.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$2^x\le 11 \quad \Rightarrow \quad x\le \log_2 11.$$

Пересечём полученные условия:

$$x\le \log_2 11,\qquad x\le \sqrt3+2,\qquad x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty).$$

Так как $$\sqrt3+2<\log_2 11$$, то из промежутка $$(2;+\infty)$$ остаётся

$$(2;\sqrt3+2].$$

Итоговое множество решений:

$$(-\infty;-1)\cup(2;\log_2 11].$$

Ответ

$$(-\infty;-1)\cup(2;\log_2 11]$$