Упр.283 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 4^x \le 9\cdot 2^x + 22,\\ \log_3(x^2-x-2)\le 1+\log_3\frac{x+1}{x-2}. \end{cases} $$

Так как

$$ x^2-x-2=(x+1)(x-2), $$

то второе неравенство равносильно

$$ \log_3(x+1)+\log_3(x-2)\le 1+\log_3(x+1)-\log_3(x-2). $$

Перенесём логарифмы в одну сторону:

$$ 2\log_3(x-2)\le 1. $$

Отсюда

$$ \log_3(x-2)\le \frac12, $$

значит,

$$ x-2\le \sqrt3. $$

С учётом области определения логарифмов получаем:

$$ x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty),\qquad x\le \sqrt3+2. $$

Теперь решим первое неравенство:

$$ 4^x-9\cdot 2^x-22\le 0. $$

Сделаем замену:

$$ 2^x=t,\qquad t>0. $$

Тогда

$$ t^2-9t-22\le 0. $$

Корни квадратного трёхчлена:

$$ t_1=-2,\qquad t_2=11. $$

С учётом условия $$t>0$$ получаем:

$$ 0<t\le 11. $$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$ 2^x\le 11 \quad \Rightarrow \quad x\le \log_2 11. $$

Пересечём полученные условия:

$$ x\le \log_2 11,\qquad x\le \sqrt3+2,\qquad x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty). $$

Так как $$\sqrt3+2<\log_2 11$$, то из промежутка $$ (2;+\infty) $$ остаётся

$$ (2;\sqrt3+2]. $$

Итоговое множество решений:

$$ (-\infty;-1)\cup(2;\log_2 11]. $$

Ответ

$$ (-\infty;-1)\cup(2;\log_2 11] $$