Упр.282 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$\log_4\frac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}\ge 0.$$

Так как основание логарифма $$4>1,$$ то это равносильно системе

$$ \begin{cases} \dfrac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}\ge 1,\\ \dfrac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}>0. \end{cases} $$

Преобразуем числитель:

$$x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2.$$

Знаменатель разложим на множители:

$$6x^2-12x-9=3(2x^2-4x-3).$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$ 2x^2-4x-3=0,\qquad D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=40, $$

$$ x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{40}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}. $$

Тогда

$$ 6x^2-12x-9>0 \quad \text{при} \quad x<\frac{2-\sqrt{10}}{2}\ \text{или}\ x>\frac{2+\sqrt{10}}{2}, $$

$$ 6x^2-12x-9<0 \quad \text{при} \quad \frac{2-\sqrt{10}}{2}<x<\frac{2+\sqrt{10}}{2}. $$

Решим уравнение, получающееся из первого неравенства:

$$ \frac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}=1 $$

$$ x^4-4x^3+4x^2=6x^2-12x-9 $$

$$ x^4-4x^3-2x^2+12x+9=0. $$

Разложим на множители:

$$ x^4-4x^3-2x^2+12x+9=(x-3)^2(x+1)^2. $$

Следовательно,

$$ \frac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}\ge 1 \iff (x-3)^2(x+1)^2\ge 0. $$

Это верно при всех $$x,$$ где выражение определено.

Теперь учтём условие

$$ \frac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}>0. $$

Так как $$x^2(x-2)^2\ge 0,$$ то дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель одновременно положительны или одновременно отрицательны. Но числитель обращается в нуль при $$x=0$$ и $$x=2,$$ поэтому эти точки исключаем.

В итоге получаем объединение промежутков, на которых логарифм неотрицателен:

$$ x\in(-\infty;-2)\cup(-1;3)\cup(4;+\infty). $$