Упр.282 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$\log_4\frac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}\ge 0.$$

Так как основание логарифма $$4>1,$$ то это равносильно системе

$$\begin{cases} \dfrac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}\ge 1,\\ \dfrac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}>0. \end{cases}$$

Преобразуем числитель:

$$x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2)^2.$$

Знаменатель разложим на множители:

$$6x^2-12x-9=3(2x^2-4x-3).$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$2x^2-4x-3=0,\qquad D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=40,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{40}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}.$$

Тогда

$$6x^2-12x-9>0 \quad \text{при} \quad x<\frac{2-\sqrt{10}}{2}\ \text{или}\ x>\frac{2+\sqrt{10}}{2},$$

$$6x^2-12x-9<0 \quad \text{при} \quad \frac{2-\sqrt{10}}{2}<x<\frac{2+\sqrt{10}}{2}.$$

Решим уравнение, получающееся из первого неравенства:

$$\frac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}=1$$

$$x^4-4x^3+4x^2=6x^2-12x-9$$

$$x^4-4x^3-2x^2+12x+9=0.$$

Разложим на множители:

$$x^4-4x^3-2x^2+12x+9=(x-3)^2(x+1)^2.$$

Следовательно,

$$\frac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}\ge 1 \iff (x-3)^2(x+1)^2\ge 0.$$

Это верно при всех $$x,$$ где выражение определено.

Теперь учтём условие

$$\frac{x^4-4x^3+4x^2}{6x^2-12x-9}>0.$$

Так как $$x^2(x-2)^2\ge 0,$$ то дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель одновременно положительны или одновременно отрицательны. Но числитель обращается в нуль при $$x=0$$ и $$x=2,$$ поэтому эти точки исключаем.

В итоге получаем объединение промежутков, на которых логарифм неотрицателен:

$$x\in(-\infty;-2)\cup(-1;3)\cup(4;+\infty).$$