Упр.281 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Обозначим область допустимых значений. Для выражений под логарифмами и знаменателей должны выполняться условия:

$$x>0,\quad 0{,}125x\ne 1,\quad 0{,}5x\ne 1,\quad \log_{0{,}5x}16\ne 1.$$

Отсюда:

$$x\ne 8,\quad x\ne 2,\quad x\ne 32.$$

Значит,

$$M=(0;2)\cup(2;8)\cup(8;32)\cup(32;+\infty).$$

Перейдём к логарифмам по основанию 2:

$$\frac{\left(\log_2 8+\log_2 x\right)\cdot \dfrac{1}{\log_2 0{,}125x}}{\dfrac{\log_2 16}{\log_2 0{,}5x}}\le \frac14.$$

Так как $$\log_2 8=3,$$ $$\log_2 16=4,$$ $$\log_2 0{,}125x=\log_2 x-3,$$ $$\log_2 0{,}5x=\log_2 x-1,$$ получаем:

$$\frac{(3+\log_2 x)(\log_2 x-1)}{4(\log_2 x-3)}\le \frac14.$$

Сделаем замену:

$$t=\log_2 x.$$

Тогда

$$\frac{(3+t)(t-1)}{4(t-3)}-\frac14\le 0,$$

$$\frac{(3+t)(t-1)- (t-3)}{4(t-3)}\le 0,$$

$$\frac{t^2+t}{4(t-3)}\le 0.$$

Решим неравенство методом интервалов:

$$\frac{t(t+1)}{t-3}\le 0.$$

Критические точки: $$t=-1,\; t=0,\; t=3.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$t\in(-\infty;-1]\cup[0;3).$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2 x\le -1 \quad \text{или} \quad 0\le \log_2 x<3.$$

Отсюда:

$$0<x\le \frac12 \quad \text{или} \quad 1\le x<8.$$

С учётом области допустимых значений исключаем $$x=2$$ и $$x=8$$.

Итак,

$$x\in(0;\tfrac12]\cup[1;2)\cup(2;8).$$

Ответ

$$M=(0;\tfrac12]\cup[1;2)\cup(2;8).$$