Упр.280 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Используем формулу $$2\sin^2 x=1-\cos 2x.$$ Тогда исходное уравнение равносильно

$$\frac{1-\cos 2x+2\sin x\cos 2x-1}{\sqrt{\cos x}}=1.$$

Перенесём 1 в левую часть и учтём область определения: $$\cos x>0.$$ Получаем

$$1-\cos 2x+2\sin x\cos 2x-1=\sqrt{\cos x}.$$

После преобразования числителя имеем

$$\cos 2x\,(2\sin x-1)=0,\qquad \cos x>0.$$

Значит, нужно решить совокупность систем:

$$ \begin{cases} \cos 2x=0,\\ \cos x>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} 2\sin x-1=0,\\ \cos x>0 \end{cases} $$

1) Если $$\cos 2x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Из условия $$\cos x>0$$ подходят значения

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$2\sin x-1=0,$$ то

$$\sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\cos x>0$$ остаётся только

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Объединяя все найденные решения, получаем:

$$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$