Упр.280 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Используем формулу $$2\sin^2 x=1-\cos 2x.$$ Тогда исходное уравнение равносильно

$$\frac{1-\cos 2x+2\sin x\cos 2x-1}{\sqrt{\cos x}}=1.$$

Перенесём 1 в левую часть и учтём область определения: $$\cos x>0.$$ Получаем

$$1-\cos 2x+2\sin x\cos 2x-1=\sqrt{\cos x}.$$

После преобразования числителя имеем

$$\cos 2x\,(2\sin x-1)=0,\qquad \cos x>0.$$

Значит, нужно решить совокупность систем:

$$\begin{cases} \cos 2x=0,\\ \cos x>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} 2\sin x-1=0,\\ \cos x>0 \end{cases}$$

1) Если $$\cos 2x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Из условия $$\cos x>0$$ подходят значения

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$2\sin x-1=0,$$ то

$$\sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\cos x>0$$ остаётся только

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Объединяя все найденные решения, получаем:

$$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$