Упр.28 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) корень (25 — а2) + корень (13 — а2), если корень (25 — а2) — корень (13 — а2) = 2;
б) корень (34 + а2) — корень (7 + а2), если корень (34 + а2) + корень (7 + а2) = 6;
в) корень 3 степени (2 + b)2(21 + b) — корень 3 степени (2 + b)(21 + b)2, если корень 3 степени (21 + b) — корень 3 степени (2 + b)= 4;
г) корень 3 степени (3- 2b)2(2b — 1) — корень 3 степени (3- 2b)(1- 2b)2, если корень 3 степени (3-2b)- корень 3 степени (1-2b)= 2.

а) Обозначим

$$x=\sqrt{25-a^2}, \quad y=\sqrt{13-a^2}.$$

Тогда по условию $$x-y=2.$$ Найдём произведение:

$$ (x+y)(x-y)=x^2-y^2=(25-a^2)-(13-a^2)=12. $$

Следовательно,

$$x+y=\frac{12}{2}=6.$$

б) Обозначим

$$x=\sqrt{34+a^2}, \quad y=\sqrt{7+a^2}.$$

По условию $$x+y=6.$$ Тогда

$$ (x-y)(x+y)=x^2-y^2=(34+a^2)-(7+a^2)=27. $$

Значит,

$$x-y=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.$$

в) Обозначим

$$x=\sqrt[3]{21+b}, \quad y=\sqrt[3]{2+b}.$$

По условию $$x-y=4.$$ Имеем

$$ (x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y). $$

Тогда

$$ 64=(21+b)-(2+b)-3\sqrt[3]{(21+b)(2+b)}\cdot 4, $$

то есть

$$ 64=19-12\sqrt[3]{(21+b)(2+b)}. $$

Отсюда

$$ \sqrt[3]{(21+b)(2+b)}=-\frac{45}{12}=-\frac{15}{4}. $$

Искомое выражение равно

$$ \sqrt[3]{(2+b)^2(21+b)}-\sqrt[3]{(2+b)(21+b)^2} =\sqrt[3]{(2+b)(21+b)}\left(\sqrt[3]{2+b}-\sqrt[3]{21+b}\right). $$

Так как $$\sqrt[3]{2+b}-\sqrt[3]{21+b}=-4,$$ получаем

$$ -4\sqrt[3]{(2+b)(21+b)}=-4\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)=15. $$

г) Обозначим

$$x=\sqrt[3]{3-2b}, \quad y=\sqrt[3]{1-2b}.$$

По условию $$x-y=2.$$ Тогда

$$ (x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y). $$

Следовательно,

$$ 8=(3-2b)-(1-2b)-3\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}\cdot 2, $$

то есть

$$ 8=2-6\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}. $$

Отсюда

$$ \sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}=-1. $$

Искомое выражение:

$$ \sqrt[3]{(3-2b)^2(2b-1)}-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2} $$

заметим, что $$2b-1=-(1-2b)$$, поэтому

$$ \sqrt[3]{(3-2b)^2(2b-1)}-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2} =-\sqrt[3]{(3-2b)^2(1-2b)}-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ -\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}\left(\sqrt[3]{3-2b}+\sqrt[3]{1-2b}\right). $$

Так как $$\sqrt[3]{3-2b}-\sqrt[3]{1-2b}=2,$$ то

$$ \sqrt[3]{3-2b}+\sqrt[3]{1-2b}=2\sqrt[3]{3-2b}. $$

Удобнее воспользоваться тождеством

$$ x^2y-xy^2=xy(x-y). $$

Тогда

$$ \sqrt[3]{(3-2b)^2(2b-1)}-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2} = -\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}\bigl(\sqrt[3]{3-2b}-\sqrt[3]{1-2b}\bigr). $$

Подставляем найденные значения:

$$ -(-1)\cdot 2=2. $$

Ответ

а) $$6$$; б) $$\frac{9}{2}$$; в) $$15$$; г) $$2$$.