Упр.28 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\sqrt{25-a^2}+\sqrt{13-a^2}$$, если $$\sqrt{25-a^2}-\sqrt{13-a^2}=2$$; б) $$\sqrt{34+a^2}-\sqrt{7+a^2}$$, если $$\sqrt{34+a^2}+\sqrt{7+a^2}=6$$; в) $$\sqrt[3]{(2+b)^2(21+b)}-\sqrt[3]{(2+b)(21+b)^2}$$, если $$\sqrt[3]{21+b}-\sqrt[3]{2+b}=4$$; г) $$\sqrt[3]{(3-2b)^2(2b-1)}-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2}$$, если $$\sqrt[3]{3-2b}-\sqrt[3]{1-2b}=2$$.

а) Обозначим

$$x=\sqrt{25-a^2}, \quad y=\sqrt{13-a^2}.$$

Тогда по условию $$x-y=2.$$ Найдём произведение:

$$(x+y)(x-y)=x^2-y^2=(25-a^2)-(13-a^2)=12.$$

Следовательно,

$$x+y=\frac{12}{2}=6.$$

б) Обозначим

$$x=\sqrt{34+a^2}, \quad y=\sqrt{7+a^2}.$$

По условию $$x+y=6.$$ Тогда

$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2=(34+a^2)-(7+a^2)=27.$$

Значит,

$$x-y=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.$$

в) Обозначим

$$x=\sqrt[3]{21+b}, \quad y=\sqrt[3]{2+b}.$$

По условию $$x-y=4.$$ Имеем

$$(x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y).$$

Тогда

$$64=(21+b)-(2+b)-3\sqrt[3]{(21+b)(2+b)}\cdot 4,$$

то есть

$$64=19-12\sqrt[3]{(21+b)(2+b)}.$$

Отсюда

$$\sqrt[3]{(21+b)(2+b)}=-\frac{45}{12}=-\frac{15}{4}.$$

Искомое выражение равно

$$\sqrt[3]{(2+b)^2(21+b)}-\sqrt[3]{(2+b)(21+b)^2} =\sqrt[3]{(2+b)(21+b)}\left(\sqrt[3]{2+b}-\sqrt[3]{21+b}\right).$$

Так как $$\sqrt[3]{2+b}-\sqrt[3]{21+b}=-4,$$ получаем

$$-4\sqrt[3]{(2+b)(21+b)}=-4\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)=15.$$

г) Обозначим

$$x=\sqrt[3]{3-2b}, \quad y=\sqrt[3]{1-2b}.$$

По условию $$x-y=2.$$ Тогда

$$(x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y).$$

Следовательно,

$$8=(3-2b)-(1-2b)-3\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}\cdot 2,$$

то есть

$$8=2-6\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}.$$

Отсюда

$$\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}=-1.$$

Искомое выражение:

$$\sqrt[3]{(3-2b)^2(2b-1)}-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2}$$

заметим, что $$2b-1=-(1-2b)$$, поэтому

$$\sqrt[3]{(3-2b)^2(2b-1)}-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2} =-\sqrt[3]{(3-2b)^2(1-2b)}-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2}.$$

Вынесем общий множитель:

$$-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}\left(\sqrt[3]{3-2b}+\sqrt[3]{1-2b}\right).$$

Так как $$\sqrt[3]{3-2b}-\sqrt[3]{1-2b}=2,$$ то

$$\sqrt[3]{3-2b}+\sqrt[3]{1-2b}=2\sqrt[3]{3-2b}.$$

Удобнее воспользоваться тождеством

$$x^2y-xy^2=xy(x-y).$$

Тогда

$$\sqrt[3]{(3-2b)^2(2b-1)}-\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)^2} = -\sqrt[3]{(3-2b)(1-2b)}\bigl(\sqrt[3]{3-2b}-\sqrt[3]{1-2b}\bigr).$$

Подставляем найденные значения:

$$-(-1)\cdot 2=2.$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$\frac{9}{2}$$; в) $$15$$; г) $$2$$.