Упр.279 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Преобразуем уравнение:

$$\cos 2x=1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,$$ а $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x,$$ получаем

$$\cos^2 x-\sin^2 x=1-\sin x.$$

Перенесём всё в одну сторону и используем $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$\cos^2 x-\sin^2 x-1+\sin x=0$$

$$1-\sin^2 x-\sin^2 x-1+\sin x=0$$

$$2\sin^2 x-\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x(2\sin x-1)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

Тогда

$$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right].$$

Из семейства $$x=\pi n$$ подходит только

$$x=-2\pi.$$

Из семейства $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$ получаем подходящие значения:

$$x=-\frac{7\pi}{6},\; -\frac{5\pi}{6}.$$

Проверка показывает, что других корней на данном промежутке нет.

Ответ

а) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$-2\pi,\; -\frac{7\pi}{6},\; -\frac{5\pi}{6}.$$