Упр.278 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Решение

Рассмотрим уравнение

$$\left(\cos x-1\right)\left(\tg x+\sqrt{3}\right)\sqrt{\cos x}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом нужно учесть область определения: $$\tg x$$ существует только при $$\cos x\ne 0$$, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $$\cos x\ge 0.$$

Получаем совокупность:

$$ \begin{cases} \cos x-1=0,\\ \tg x+\sqrt{3}=0,\\ \sqrt{\cos x}=0. \end{cases} $$

Решаем по отдельности:

$$\cos x=1 \;\Rightarrow\; x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

$$\tg x=-\sqrt{3} \;\Rightarrow\; x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

$$\sqrt{\cos x}=0 \;\Rightarrow\; \cos x=0,$$

но эти значения не подходят, так как при $$\cos x=0$$ функция $$\tg x$$ не определена.

Следовательно, остаются только решения:

$$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$

и

$$x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$