Упр.274 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Найдём производную функции:

$$f'(x)=2x-\frac{2x}{(x^2+a)^2}=2x\left(1-\frac{1}{(x^2+a)^2}\right)=2x\cdot \frac{(x^2+a-1)(x^2+a+1)}{(x^2+a)^2}.$$

Так как $$a>0,$$ то $$x^2+a+1>0$$ при всех $$x.$$ Поэтому знак производной определяется выражением

$$2x(x^2+a-1).$$

Критические точки получаем из уравнения

$$2x(x^2+a-1)=0,$$

откуда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x^2=1-a.$$

Если $$0<a\le 1,$$ то есть ещё точки

$$x=\pm\sqrt{1-a}.$$

При этом наименьшее значение функции достигается в точке $$x=\sqrt{1-a}$$ и равно

$$f(\sqrt{1-a})=1-a+a+\frac{1}{1-a+a}=2.$$

Если $$a>1,$$ то уравнение $$x^2+a-1=0$$ решений не имеет, и критической точкой остаётся только $$x=0.$$ Тогда

$$f(0)=a+\frac{1}{a}.$$

Ответ

При $$0<a\le 1$$: $$f_{\min}=2.$$
При $$a>1$$: $$f_{\min}=a+\frac{1}{a}.$$