Упр.27 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{a^2+\sqrt{x+a^4}+a^2-\sqrt{x+a^4}}{a^4-(x+a^4)}\right)^{-1} + \left(\frac{2a^2+a^4}{x+a^4}+\frac{x}{x+a^4}-1\right)^{-1}$$

Упростим первую дробь:

$$a^2+\sqrt{x+a^4}+a^2-\sqrt{x+a^4}=2a^2,$$
$$a^4-(x+a^4)=-x.$$

Тогда

$$\left(\frac{2a^2}{-x}\right)^{-1}=-\frac{x}{2a^2}.$$

Упростим вторую дробь:

$$\frac{2a^2+a^4}{x+a^4}+\frac{x}{x+a^4}-1 = \frac{2a^2+a^4+x-(x+a^4)}{x+a^4} = \frac{2a^2}{x+a^4}.$$

Тогда

$$\left(\frac{2a^2}{x+a^4}\right)^{-1}=\frac{x+a^4}{2a^2}.$$

Складываем полученные выражения:

$$-\frac{x}{2a^2}+\frac{x+a^4}{2a^2} = \frac{-x+x+a^4}{2a^2} = \frac{a^4}{2a^2} = \frac{a^2}{2}.$$

При этом должны выполняться условия существования выражения: $$x+a^4\ne 0$$, $$x\ne 0$$, $$a\ne 0$$.

Ответ

$$\frac{a^2}{2}$$