Упр.27 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 27 (МЭИ). Упростите выражение:

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{a^2+\sqrt{x+a^4}+a^2-\sqrt{x+a^4}}{a^4-(x+a^4)}\right)^{-1} + \left(\frac{2a^2+a^4}{x+a^4}+\frac{x}{x+a^4}-1\right)^{-1} $$

Упростим первую дробь:

$$ a^2+\sqrt{x+a^4}+a^2-\sqrt{x+a^4}=2a^2, $$
$$ a^4-(x+a^4)=-x. $$

Тогда

$$ \left(\frac{2a^2}{-x}\right)^{-1}=-\frac{x}{2a^2}. $$

Упростим вторую дробь:

$$ \frac{2a^2+a^4}{x+a^4}+\frac{x}{x+a^4}-1 = \frac{2a^2+a^4+x-(x+a^4)}{x+a^4} = \frac{2a^2}{x+a^4}. $$

Тогда

$$ \left(\frac{2a^2}{x+a^4}\right)^{-1}=\frac{x+a^4}{2a^2}. $$

Складываем полученные выражения:

$$ -\frac{x}{2a^2}+\frac{x+a^4}{2a^2} = \frac{-x+x+a^4}{2a^2} = \frac{a^4}{2a^2} = \frac{a^2}{2}. $$

При этом должны выполняться условия существования выражения: $$x+a^4\ne 0$$, $$x\ne 0$$, $$a\ne 0$$.

Ответ

$$ \frac{a^2}{2} $$