Упр.268 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Из города в деревню одновременно выехали велосипедист В и мотоциклист М1, а в тот же момент из деревни в город выехал второй мотоциклист М2. Скорости М1 и М2 были равны 30 км/ч.
Встретившись, В и М2 некоторое время стояли на месте, а затем оба направились в деревню. При этом В поехал с прежней скоростью, а М2 уменьшил свою скорость в три раза. В результате М1 и М2 прибыли в деревню одновременно, а через промежуток времени, в десять раз больший длительности встречи Б и М2, в деревню приехал В. Найдите скорость велосипедиста В.

Подробный ответ

а) Пусть $$x$$ км/ч — скорость пешеходов, $$t$$ ч — время до встречи бегуна и пешехода П2, $$s$$ км — расстояние от города до деревни.

Тогда за время $$t$$ бегун пробежал $$12t$$ км, а пешеход П2 прошёл $$xt$$ км. Значит,

$$12t+xt=s.$$

После встречи бегун и П2 некоторое время стояли, затем направились в деревню. Бегун шёл со скоростью $$12$$ км/ч, а П2 — со скоростью $$\dfrac{2x}{3}$$ км/ч.

Пусть $$t_1$$ ч — время их стояния. Тогда до деревни бегун добирался за время

$$\frac{xt}{12}+2t_1,$$

а пешеход П2 — за время

$$\frac{xt}{\frac{2x}{3}}+2t_1=\frac{3t}{2}+2t_1.$$

По условию, бегун прибежал в деревню раньше, а затем через промежуток времени, в два раза больший длительности их встречи, одновременно пришли оба пешехода. Значит, время движения П1 до деревни равно

$$\frac{s}{x}=t+3t_1+\frac{xt}{12}.$$

Из равенства времён движения после встречи получаем

$$\left(\frac{xt}{12}+2t_1\right)\cdot \frac{2}{3}x=xt.$$

Отсюда

$$t_1=\frac{t}{3}\left(\frac{12+x}{x}-1-\frac{x}{12}\right).$$

Подставим это в уравнение для $$\dfrac{s}{x}$$:

$$\frac{xt}{12}+\frac{4t}{9}\left(\frac{12+x}{x}-1-\frac{x}{12}\right)=t.$$

После преобразований получаем квадратное уравнение:

$$x^2-54x+288=0.$$

$$D=54^2-4\cdot 288=1764,$$

$$x_{1,2}=\frac{54\pm 42}{2}.$$

Следовательно,

$$x_1=48,\quad x_2=6.$$

По смыслу задачи подходит только $$x=6$$ км/ч.

б) Аналогично обозначим скорость велосипедиста через $$x$$ км/ч. Скорости мотоциклистов $$M_1$$ и $$M_2$$ равны $$30$$ км/ч, а после встречи велосипедист и $$M_2$$ продолжили движение: велосипедист — с прежней скоростью, а $$M_2$$ — со скоростью $$10$$ км/ч.

Составляя уравнения по тем же соотношениям времени и расстояния, получаем квадратное уравнение

$$x^2-60x+900=0.$$

Отсюда

$$x=30.$$