Упр.267 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Три гонщика стартуют одновременно из одной точки шоссе, имеющего форму окружности, и едут в одном направлении с постоянными скоростями. Первый гонщик впервые после старта догнал второго, делая свой пятый круг, в точке, диаметрально противоположной точке старта, а через полчаса после этого он вторично (не считая момента старта) обогнал третьего гонщика. Сколько кругов в час делает первый гонщик, если второй гонщик проходит круг не менее чем за 20 мин?

1. Обозначим длину кольцевого шоссе через $$S$$, а времена прохождения круга гонщиками A, B, C — через $$x$$, $$y$$, $$z$$ минут соответственно.

   Тогда их скорости равны:

   $$u=\frac{S}{x}, \quad v=\frac{S}{y}, \quad w=\frac{S}{z}.$$

   По условию в момент старта гонщик B был впереди A на $$\frac{S}{3}$$, а C — впереди B на $$\frac{S}{3}$$, значит C был впереди A на $$\frac{2S}{3}$$.

   Гонщик A впервые догнал B в момент, когда B закончил первый круг, то есть через $$y$$ минут после старта. За это время A прошёл на $$\frac{S}{3}$$ больше, чем B:

   $$uy=vy+\frac{S}{3}.$$

   Так как $$vy=S$$, получаем:

   $$uy=\frac{4S}{3}.$$

   Через 10 минут после этого A впервые догнал C, то есть через $$y+10$$ минут после старта. За это время A прошёл на $$\frac{2S}{3}$$ больше, чем C:

   $$u(y+10)=w(y+10)+\frac{2S}{3}.$$

   Также известно, что гонщик B тратит на круг на 2,5 минуты меньше, чем C:

   $$z=y+\frac{5}{2}.$$

   Из равенства $$uy=\frac{4S}{3}$$ и формулы $$u=\frac{S}{x}$$ получаем:

   $$\frac{S}{x}\,y=\frac{4S}{3}, \quad \frac{y}{x}=\frac{4}{3}, \quad y=\frac{4x}{3}.$$

   Подставим это в уравнение для встречи с C:

   $$\frac{S}{x}(y+10)=\frac{S}{z}(y+10)+\frac{2S}{3}.$$

   Сокращая на $$S$$ и подставляя $$y=\frac{4x}{3}$$, $$z=\frac{4x}{3}+\frac{5}{2}$$, получаем:

   $$\frac{\frac{4x}{3}+10}{x}=\frac{\frac{4x}{3}+10}{\frac{4x}{3}+\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}.$$

   После преобразований:

   $$\frac{4}{9}x^2-5x-25=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=(-5)^2-4\cdot \frac{4}{9}\cdot(-25)=25+\frac{400}{9}=\frac{625}{9},$$

   $$x=\frac{5\pm \frac{25}{3}}{2\cdot \frac{4}{9}}.$$

   Получаем корни:

   $$x=15 \quad \text{или} \quad x=-\frac{15}{4}.$$

   Отрицательный корень не подходит, значит $$x=15$$.

2. Обозначим скорость первого гонщика через $$v_1$$, второго — через $$v_2$$, третьего — через $$v_3$$, а длину круга через $$S$$.

   Пусть первый гонщик делает $$n$$ кругов в час, второй — $$m$$, третий — $$k$$. Тогда

   $$v_1=nS,\quad v_2=mS,\quad v_3=kS.$$

   По условию первый впервые догнал второго, делая свой пятый круг, в диаметрально противоположной точке старта. Значит за это время первый прошёл $$\frac{9S}{2}$$, а второй — $$\frac{S}{2}$$, поэтому

   $$\frac{S}{v_1-v_2}=\frac{4.5S}{v_1}.$$

   Отсюда

   $$n-m=\frac{2}{9}n.$$

   Через полчаса после этого первый вторично обогнал третьего, значит

   $$\frac{4.5S}{v_1}+\frac{1}{2}=\frac{2S}{v_1-v_3},$$

   то есть

   $$n-k=\frac{4n}{9+n}.$$

   Первый гонщик впервые догнал второго в точке, диаметрально противоположной старту, значит второй к этому моменту прошёл полкруга. Первый гонщик впервые догнал третьего через 3 часа после старта, поэтому

   $$\frac{2S}{v_2-v_3}=3,$$

   откуда

   $$m-k=\frac{1}{3}.$$

   Кроме того, второй гонщик проходит круг не менее чем за 20 минут, значит

   $$m\le 3.$$

   Из первых и третьего уравнений:

   $$n-k=\frac{2n+3}{9}.$$

   Приравниваем это выражение ко второму:

   $$\frac{2n+3}{9}=\frac{4n}{9+n}.$$

   После преобразований получаем:

   $$2n^2-15n+27=0.$$

   Решаем:

   $$D=15^2-4\cdot 2\cdot 27=225-216=9,$$

   $$n=\frac{15\pm 3}{4}.$$

   Следовательно,

   $$n=4.5 \quad \text{или} \quad n=3.$$

   Если $$n=4.5$$, то $$m=3.5>3$$, что противоречит условию $$m\le 3$$. Значит,

   $$n=3.$$

Ответ

а) $$15$$ мин; б) $$3$$ круга в час.