Упр.265 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 265 В озеро впадают две реки. Теплоход выходит из порта М на первой реке, плывет вниз по течению до озера, затем через озеро (где нет течения) и по второй реке вверх (против течения) до порта N. Затем теплоход возвращается обратно. Скорость теплохода в озере равна v, скорость течения первой реки v1, второй реки v2, время движения теплохода от М до N равно t, а длина пути от М до N равна s. Время обратного движения от N до М также равно t. Какое расстояние теплоход идет по озеру в одном направлении?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ расстояние, которое теплоход проходит по озеру в одном направлении. Тогда на первой реке он проходит путь $$y$$, а на второй реке — путь $$s-x-y$$.

Время движения из $$M$$ в $$N$$:

$$ t=\frac{y}{v_1+v}+\frac{x}{v}+\frac{s-x-y}{v-v_2}. $$

Время обратного движения из $$N$$ в $$M$$:

$$ t=\frac{s-x-y}{v+v_2}+\frac{x}{v}+\frac{y}{v-v_1}. $$

Приравняем правые части:

$$ \frac{y}{v_1+v}+\frac{x}{v}+\frac{s-x-y}{v-v_2} = \frac{s-x-y}{v+v_2}+\frac{x}{v}+\frac{y}{v-v_1}. $$

Сократим $$\frac{x}{v}$$ и перенесём слагаемые:

$$ y\left(\frac{1}{v_1+v}-\frac{1}{v-v_1}\right) = (s-x-y)\left(\frac{1}{v+v_2}-\frac{1}{v-v_2}\right). $$

Вычислим разности:

$$ \frac{1}{v_1+v}-\frac{1}{v-v_1} = \frac{-2v_1}{v^2-v_1^2}, \qquad \frac{1}{v+v_2}-\frac{1}{v-v_2} = \frac{-2v_2}{v^2-v_2^2}. $$

Тогда

$$ y\cdot \frac{-2v_1}{v^2-v_1^2} = (s-x-y)\cdot \frac{-2v_2}{v^2-v_2^2}. $$