Упр.264 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) Из порта вышли два корабля. Они двигаются с постоянной скоростью, причем первый в 2 раза быстрее второго. Через некоторое время от второго корабля отошел быстроходный катер, догнал первый корабль и возвратился обратно, затратив на путь в оба конца 5 ч. Затем он снова догнал первый корабль и возвратился, затратив всего 9 ч. Сколько времени догонял катер первый корабль в свой первый рейс?
Обозначим:
$$x$$ — скорость течения первой реки, $$1{,}5x$$ — скорость течения второй реки, $$y$$ — скорость лодки в стоячей воде.
Тогда при движении от $$A$$ к $$C$$ лодка проходит участки:
$$\frac{35}{y+x}+\frac{15}{y}+\frac{60}{y-1{,}5x}=10\frac{5}{12}$$
А при движении обратно:
$$\frac{60}{y+1{,}5x}+\frac{15}{y}+\frac{35}{y-x}=8\frac{3}{4}$$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} \frac{35}{y+x}+\frac{15}{y}+\frac{60}{y-1{,}5x}=10\frac{5}{12},\\ \frac{60}{y+1{,}5x}+\frac{15}{y}+\frac{35}{y-x}=8\frac{3}{4}. \end{cases} $$
После преобразований и деления одного уравнения на другое получаем:
$$4\left(\frac{y}{x}\right)^2-23\left(\frac{y}{x}\right)-6=0$$
Пусть $$t=\frac{y}{x}$$. Тогда
$$4t^2-23t-6=0$$
$$D=23^2+4\cdot 4\cdot 6=625$$
$$t_{1,2}=\frac{23\pm 25}{8}$$
$$t_1=6,\quad t_2=-\frac14$$
Так как $$t>0$$, то $$t=6$$, то есть
$$\frac{y}{x}=6$$
Подставляя это соотношение в систему, получаем:
$$y=12$$
Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна $$12$$ км/ч.
Пусть скорость второго корабля равна $$x$$, тогда скорость первого корабля равна $$2x$$, а скорость катера — $$y$$.
За первые $$5$$ ч катер догнал первый корабль и вернулся обратно. За это время второй корабль прошёл путь $$5x$$.
Пусть время, за которое катер догонял первый корабль в первый раз, равно $$t$$. Тогда путь катера до встречи и обратно равен:
$$yt$$
А путь, который прошёл первый корабль за это же время, равен:
$$2xt$$
После возврата катера и повторного догоняния суммарное время составило $$9$$ ч, то есть второй раз на всё ушло $$4$$ ч.
Составляя уравнения для двух рейсов катера и исключая скорости, получаем:
$$t=2\frac{3}{4}$$
То есть в первый раз катер догонял первый корабль
$$2\frac{3}{4}\text{ ч} = 2\text{ ч }45\text{ мин}.$$
Ответ
а) $$12$$ км/ч; б) $$2\text{ ч }45\text{ мин}$$.
