Упр.263 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет 6/5 скорости грузовика. Через 30 мин вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 ч раньше, чем легковой автомобиль.

а) Пусть $$x$$ км/ч — скорость велосипедиста, тогда скорость пешехода равна $$\frac{2}{5}x$$ км/ч.

Пусть $$t$$ ч — время, через которое мотоциклист догнал пешехода. Тогда пешеход шёл $$t+2$$ ч, а мотоциклист ехал $$t$$ ч. Получаем:

$$\frac{2}{5}x(t+2)=30t.$$

Мотоциклист догнал велосипедиста на $$1{,}5$$ ч позже, значит велосипедист ехал $$t+1{,}5+2=t+3{,}5$$ ч, а мотоциклист — $$t+1{,}5$$ ч. Тогда:

$$30(t+1{,}5)=x(t+3{,}5).$$

Из первого уравнения:

$$\frac{2}{5}xt+\frac{4}{5}x=30t,$$

$$t\left(30-\frac{2}{5}x\right)=\frac{4}{5}x,$$

$$t=\frac{2x}{75-x}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$30\left(\frac{2x}{75-x}+1{,}5\right)=x\left(\frac{2x}{75-x}+3{,}5\right).$$

Умножим на $$75-x$$:

$$30(2x+1{,}5(75-x))=x(2x+3{,}5(75-x)).$$

$$30(0{,}5x+112{,}5)=x(262{,}5-1{,}5x).$$

$$1{,}5x^2-247{,}5x+3375=0.$$

$$x^2-165x+2250=0.$$

$$D=165^2-4\cdot2250=11025,$$

$$x_{1,2}=\frac{165\pm105}{2}.$$

$$x_1=135,\quad x_2=30.$$

Скорость пешехода:

$$\frac{2}{5}\cdot135=54.$$

Значит, скорость пешехода равна $$54$$ км/ч.

б) Пусть $$x$$ км/ч — скорость грузовика, тогда скорость легкового автомобиля равна $$\frac{6}{5}x$$ км/ч.

Пусть $$t$$ ч — время, через которое мотоциклист догнал грузовик. Тогда грузовик ехал $$t+0{,}5$$ ч, а мотоциклист — $$t$$ ч:

$$x(t+0{,}5)=90t.$$

Мотоциклист догнал легковой автомобиль на $$1$$ ч позже, значит автомобиль ехал $$t+1{,}5$$ ч, а мотоциклист — $$t+1$$ ч:

$$90(t+1)=\frac{6}{5}x(t+1{,}5).$$

Из первого уравнения:

$$t(90-x)=0{,}5x,$$

$$t=\frac{0{,}5x}{90-x}.$$

Подставим во второе уравнение:

$$90\left(\frac{0{,}5x}{90-x}+1\right)=\frac{6}{5}x\left(\frac{0{,}5x}{90-x}+1{,}5\right).$$

Умножим на $$90-x$$:

$$90(90-0{,}5x)=\frac{6}{5}x(135-x).$$

$$x^2-172{,}5x+6750=0.$$

$$D=172{,}5^2-4\cdot6750=12656{,}25,$$

$$x_{1,2}=\frac{172{,}5\pm112{,}5}{2}.$$

$$x_1=142{,}5,\quad x_2=30.$$

Скорость легкового автомобиля:

$$\frac{6}{5}\cdot30=36.$$

Ответ: а) $$54$$ км/ч; б) $$36$$ км/ч.