Упр.260 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 260 Имеются два сосуда, содержащие растворы кислоты разной концентрации. В первом m л раствора, во втором n л раствора. Из каждого сосуда взяли по одинаковому количеству раствора и перелили в другой сосуд, после чего концентрация кислоты в растворах сравнялась. По скольку литров раствора перелили из каждого сосуда? Решите задачу в общем виде. Получите ответ, если: а) m = 20, n = 30; б) m = 10, n = 30.
Пусть из каждого сосуда перелили по $$z$$ л раствора. Обозначим концентрации кислоты в первом и втором сосудах через $$x\%$$ и $$y\%$$ соответственно.
Тогда количество чистой кислоты в сосудах сначала равно:
в первом сосуде $$\frac{mx}{100}$$ л, во втором сосуде $$\frac{ny}{100}$$ л.
После переливания в первом сосуде останется
$$\frac{mx}{100}-\frac{zx}{100}+\frac{zy}{100},$$
а во втором сосуде —
$$\frac{ny}{100}-\frac{zy}{100}+\frac{zx}{100}.$$
Так как после переливания концентрации сравнялись, то
$$\frac{mx-zx+zy}{100m}=\frac{ny-zy+zx}{100n}.$$
Умножим на $$100mn$$:
$$n(mx-zx+zy)=m(ny-zy+zx).$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$mnx-nzx+nzy=mny-mzy+mxz,$$
$$mnx-mny-zx(n+m)+zy(n+m)=0,$$
$$m n(x-y)-z(m+n)(x-y)=0,$$
$$ (x-y)(mn-z(m+n))=0.$$
Так как концентрации растворов разные, то $$x\ne y$$, значит
$$mn-z(m+n)=0,$$
откуда
$$z=\frac{mn}{m+n}.$$
Итак, из каждого сосуда перелили по $$\frac{mn}{m+n}$$ л раствора.
Подставим значения.
а) При $$m=20$$, $$n=30$$:
$$z=\frac{20\cdot 30}{20+30}=12.$$
б) При $$m=10$$, $$n=30$$:
$$z=\frac{10\cdot 30}{10+30}=7{,}5.$$
Ответ
Из каждого сосуда перелили по $$\frac{mn}{m+n}$$ л; а) $$12$$ л; б) $$7{,}5$$ л.
