Упр.255 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Сумма двенадцати чисел равна нулю, и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма четвертых степеней этих чисел?

а) Обозначим данные числа через $$a_1,a_2,\dots,a_{10}.$$

По условию

$$a_1+a_2+\dots+a_{10}=0,$$

$$a_1a_2+a_1a_3+\dots+a_9a_{10}=0.$$

Возведём сумму чисел в квадрат:

$$ (a_1+a_2+\dots+a_{10})^2= a_1^2+a_2^2+\dots+a_{10}^2+2(a_1a_2+a_1a_3+\dots+a_9a_{10}). $$

Так как обе суммы в условии равны нулю, получаем

$$a_1^2+a_2^2+\dots+a_{10}^2=0.$$

Сумма квадратов неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда все числа равны нулю:

$$a_1=a_2=\dots=a_{10}=0.$$

Тогда

$$a_1^3+a_2^3+\dots+a_{10}^3=0.$$

б) Аналогично для чисел $$a_1,a_2,\dots,a_{12}$$ имеем

$$a_1+a_2+\dots+a_{12}=0,$$

$$a_1a_2+a_1a_3+\dots+a_{11}a_{12}=0.$$

Из равенства

$$ (a_1+a_2+\dots+a_{12})^2= a_1^2+a_2^2+\dots+a_{12}^2+2(a_1a_2+a_1a_3+\dots+a_{11}a_{12}) $$

следует

$$a_1^2+a_2^2+\dots+a_{12}^2=0,$$

значит,

$$a_1=a_2=\dots=a_{12}=0.$$

Тогда

$$a_1^4+a_2^4+\dots+a_{12}^4=0.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$.