Упр.254 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
система
sinx = cos (корень (6 — 2а2х))
cosx= (a-2/3) sin (корень (6-2a2x))
имеет ровно одно решение на отрезке [0; 2пи]
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} \sin x=\cos\sqrt{6-2a^2x},\\ \cos x=\left(a-\dfrac23\right)\sin\sqrt{6-2a^2x}. \end{cases} $$
Используем формулу $$\cos t=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)$$:
$$ \begin{cases} \sin x=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\sqrt{6-2a^2x}\right),\\ \cos x=\left(a-\dfrac23\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\sqrt{6-2a^2x}\right). \end{cases} $$
Рассмотрим возможные случаи.
1) Если единственное решение не совпадает с $$\dfrac{\pi}{2}$$ и $$\dfrac{3\pi}{2}$$, то из первого уравнения следует, что аргументы синусов равны с точностью до $$2\pi n$$, а из второго — что
$$ \cos x\left(1-a+\dfrac23\right)=0 $$
или
$$ \cos x\left(-1-a+\dfrac23\right)=0. $$
Отсюда получаем
$$ a=\dfrac53 \quad \text{или} \quad a=-\dfrac13. $$
При $$a=-\dfrac13$$ система принимает вид
$$ \begin{cases} \sin x=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\sqrt{13}}{3}x\right),\\ \cos x=-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\sqrt{13}}{3}x\right). \end{cases} $$
Отсюда
$$ x=\dfrac{-\pi/2+2\pi n}{\dfrac{2\sqrt{13}}{3}-1}, \quad n\in\mathbb Z. $$
На отрезке $$[0;2\pi]$$ этому выражению соответствует ровно одно значение, значит при $$a=-\dfrac13$$ система имеет единственное решение.
При $$a=\dfrac53$$ получаем
$$ \begin{cases} \sin x=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac23x\right),\\ \cos x=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac23x\right). \end{cases} $$
Тогда
$$ x=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac23x+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
то есть
$$ x=\dfrac{3\pi}{10}-\dfrac{6\pi}{5}n,\quad n\in\mathbb Z. $$
На отрезке $$[0;2\pi]$$ таких решений несколько, значит $$a=\dfrac53$$ не подходит.
2) Если единственное решение системы на отрезке $$[0;2\pi]$$ равно $$\dfrac{\pi}{2}$$, то
$$ 1=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\sqrt{6-2a^2\cdot\dfrac{\pi}{2}}\right). $$
Следовательно,
$$ \sqrt{6-2a^2\cdot\dfrac{\pi}{2}}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Так как $$0\le \sqrt{6-2a^2}\le \sqrt6$$, возможно только $$n=0$$, откуда
$$ 6-2a^2=0,\qquad a=\pm\sqrt3. $$
При этих значениях система действительно имеет единственное решение $$x=\dfrac{\pi}{2}$$ на отрезке $$[0;2\pi]$$.
3) Если единственное решение системы на отрезке $$[0;2\pi]$$ равно $$\dfrac{3\pi}{2}$$, то
$$ -1=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\sqrt{6-2a^2\cdot\dfrac{3\pi}{2}}\right). $$
Аналогично получаем
$$ \sqrt{6-2a^2\cdot\dfrac{3\pi}{2}}=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Из допустимых значений следует
$$ \sqrt{6-2a^2}=\dfrac23 \quad \text{или} \quad \sqrt{6-2a^2}=2, $$
откуда
$$ a=\pm\dfrac53 \quad \text{или} \quad a=\pm1. $$
Значение $$a=\dfrac53$$ уже не подходит, а при $$a=\pm1$$ система не даёт единственного решения на отрезке $$[0;2\pi]$$.
Итак, подходят только значения параметра
$$ a=-\dfrac13,\quad a=\pm1,\quad a=\pm\sqrt3. $$
Ответ
$$ a\in\left\{-\dfrac13,\,-1,\,1,\,-\sqrt3,\,\sqrt3\right\}. $$
