Упр.253 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система неравенств $$\begin{cases} x^3-(a+3)x^2+(3a+2)x-2a\geq 0,\\ x^3-(a+3)x^2+3ax\leq 0 \end{cases}$$ имеет единственное решение.

Разложим многочлены на множители:

$$x^3-(a+3)x^2+(3a+2)x-2a=(x-a)(x^2-3x+2)=(x-a)(x-1)(x-2),$$
$$x^3-(a+3)x^2+3ax=(x-a)(x^2-3x)=x(x-3)(x-a).$$

Тогда система равносильна системе

$$\begin{cases} (x-1)(x-2)(x-a)\ge 0,\\ x(x-3)(x-a)\le 0. \end{cases}$$

Рассмотрим расположение числа $$a$$ относительно точек $$0,1,2,3$$.

Чтобы система имела единственное решение, пересечение множеств решений двух неравенств должно состоять ровно из одной точки. Это возможно только при $$a\ge 3$$, когда:

$$(x-1)(x-2)(x-a)\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\in [1;2]\cup [a;+\infty),$$
$$x(x-3)(x-a)\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\in (-\infty;0]\cup [3;a].$$

Пересечение этих множеств при $$a\ge 3$$ равно

$$[1;2]\cup [a;+\infty)\;\cap\; \bigl((-\infty;0]\cup [3;a]\bigr)=\{a\}.$$

При $$a<3$$ пересечение содержит не одну точку, а целый отрезок, поэтому единственного решения нет.

Ответ

$$a\ge 3$$