Упр.252 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

система
aх2 — 2(а + 1)х + а + 5 < = 0 (а +1)х - 2(а + 2)х + а + 2 > = 0
имеет единственное решение.

Подробный ответ

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} ax^2-2(a+1)x+a+5\le 0,\\ (a+1)x^2-2(a+2)x+a+2\ge 0. \end{cases} $$

Система имеет единственное решение только в двух случаях:

одно из неравенств даёт ровно одну точку;
оба неравенства имеют общую граничную точку.

1) Первое неравенство имеет единственное решение.

Это возможно, если его дискриминант равен нулю и ветви параболы направлены вверх:

$$ \begin{cases} D_1=4(a+1)^2-4a(a+5)=0,\\ a>0. \end{cases} $$

$$ 4(a^2+2a+1)-4(a^2+5a)=0 $$

$$ -12a+4=0,\qquad a=\frac13. $$

При $$a=\frac13$$ получаем

$$ \begin{cases} \frac13x^2-\frac83x+\frac{16}{3}\le 0,\\ \frac43x^2-\frac{14}{3}x+\frac73\ge 0. \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x^2-8x+16\le 0,\\ 4x^2-14x+7\ge 0. \end{cases} $$

Отсюда $$x=4$$, и это действительно единственное решение системы.

2) Оба неравенства имеют общую граничную точку.

Тогда существует число $$x$$, для которого

$$ \begin{cases} ax^2-2(a+1)x+a+5=0,\\ (a+1)x^2-2(a+2)x+a+2=0. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ -x^2+2x-3=0, $$

то есть

$$ x^2-2x+3=0. $$

У этого уравнения нет действительных корней, значит нужно рассмотреть совпадение граничных точек через общий корень при специальных значениях параметра. Подставим возможные точки касания.

Если $$x=3$$, то из первого уравнения получаем

$$ 9a-6(a+1)+a+5=0, $$

$$ 4a-1=0,\qquad a=\frac14. $$

При $$a=\frac14$$ система даёт

$$ \begin{cases} x^2-10x+21\le 0,\\ 5x^2-18x+9\ge 0, \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 3\le x\le 7,\\ x\le \frac35 \ \text{или}\ x\ge 3. \end{cases} $$

Пересечение не является единственной точкой, значит $$a=\frac14$$ не подходит.

Если $$x=-1$$, то

$$ a+1+2(a+2)+a+2=0, $$

$$ 4a+7=0,\qquad a=-\frac74. $$

При $$a=-\frac74$$ получаем

$$ \begin{cases} -\frac74x^2+2\cdot\frac34x+\frac{13}{4}\le 0,\\ -\frac34x^2-2\cdot\frac14x+\frac14\ge 0, \end{cases} $$