Упр.251 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ имеет единственное решение уравнение $$|2x+6|+|2x-8|=ax+12$$?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$f(x)=|2x+6|+|2x-8|.$$

Раскроем модули по промежуткам:

$$f(x)= \begin{cases} -4x+2, & x<-3,\\ 14, & -3\le x\le 4,\\ 4x-2, & x>4. \end{cases}$$

Уравнение имеет вид $$f(x)=ax+12.$$ Это семейство прямых, проходящих через точку $$\left(0;12\right).$$

Чтобы уравнение имело единственное решение, прямая $$y=ax+12$$ должна пересекать график $$y=f(x)$$ ровно в одной точке.

На горизонтальном участке $$f(x)=14$$ прямая может иметь единственную общую точку только в том случае, если она проходит через одну из точек излома графика:

$$g(-3)=14,\qquad g(4)=14,$$

где $$g(x)=ax+12.$$ Тогда

$$\begin{cases} -3a+12=14,\\ 4a+12=14. \end{cases}$$

Отсюда

$$a=-\frac{2}{3},\qquad a=\frac{1}{2}.$$

Кроме того, если $$|a|\ge 4,$$ то прямая имеет с графиком ровно одну точку пересечения на внешних ветвях. При $$|a|=4$$ получаем касание в точках перехода, а при $$|a|>4$$ — единственное пересечение.

Значит, уравнение имеет единственное решение при

$$a\in(-\infty,-4]\cup[4,+\infty)\cup\left\{-\frac{2}{3},\frac{1}{2}\right\}.$$