Упр.250 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 250 (МГУ, геол. ф-т). При каких значениях параметра а > = 1 уравнение sin (4/13x) tgx = 0 имеет ровно 6 различных корней на отрезке [2апи; (a2 + 1)пи]? Укажите эти корни. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/250 118

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$\sin\frac{4}{13}x\cdot\tg x=0.$$

Оно равносильно совокупности двух уравнений:

$$ \sin\frac{4}{13}x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=0. $$

Но при этом точки, где $$\cos x=0,$$ не подходят, так как в них $$\tg x$$ не определён. Поэтому корни исходного уравнения задаются двумя сериями:

$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z; $$

$$ x=\frac{13\pi}{4}(2k+1),\quad k\in\mathbb Z. $$

Первая серия имеет шаг $$\pi,$$ вторая — шаг $$\frac{13\pi}{2}.$$

Рассмотрим отрезок

$$[2a\pi;\,(a^2+1)\pi].$$

Его длина равна

$$ (a^2+1)\pi-2a\pi=(a-1)^2\pi. $$

Чтобы на отрезке было ровно 6 различных корней, нужно, чтобы он содержал не менее 6 корней первой серии и не захватывал лишние точки второй серии. Это возможно только при

$$ 4\pi\le (a-1)^2\pi<6.5\pi, $$

то есть

$$ 2\le |a-1|<\sqrt{6.5}. $$

С учётом условия $$a\ge 1$$ получаем

$$ a\ge 3,\qquad a<1+\sqrt{6.5}. $$

Проверим, при каких значениях $$a$$ на отрезке действительно получается ровно 6 корней. Подходят два случая:

$$ 3<a\le \frac{7}{2} $$

$$ \sqrt{10}\le a<\sqrt{11}. $$

Объединяя, получаем

$$ a\in\left(3;\frac{7}{2}\right]\cup\left[\sqrt{10};\sqrt{11}\right). $$

При $$a=3$$ отрезок $$[6\pi;10\pi]$$ содержит корни

$$6\pi,\ 7\pi,\ 8\pi,\ 9\pi,\ 10\pi,\ \frac{39\pi}{4}.$$

При $$a\in\left(3;\frac{7}{2}\right]$$ и $$a\in\left[\sqrt{10};\sqrt{11}\right)$$ на отрезке также получается ровно 6 различных корней первой и второй серий.