Упр.250 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a\geqslant1$$ уравнение $$\sin\left(\frac{4x}{13}\right)\operatorname{tg}x=0$$ имеет ровно 6 различных корней на отрезке $$[2a\pi;(a^2+1)\pi]$$? Укажите эти корни.

Рассмотрим уравнение

$$\sin\frac{4}{13}x\cdot\tg x=0.$$

Оно равносильно совокупности двух уравнений:

$$\sin\frac{4}{13}x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=0.$$

Но при этом точки, где $$\cos x=0,$$ не подходят, так как в них $$\tg x$$ не определён. Поэтому корни исходного уравнения задаются двумя сериями:

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

$$x=\frac{13\pi}{4}(2k+1),\quad k\in\mathbb Z.$$

Первая серия имеет шаг $$\pi,$$ вторая — шаг $$\frac{13\pi}{2}.$$

Рассмотрим отрезок

$$[2a\pi;\,(a^2+1)\pi].$$

Его длина равна

$$(a^2+1)\pi-2a\pi=(a-1)^2\pi.$$

Чтобы на отрезке было ровно 6 различных корней, нужно, чтобы он содержал не менее 6 корней первой серии и не захватывал лишние точки второй серии. Это возможно только при

$$4\pi\le (a-1)^2\pi<6.5\pi,$$

то есть

$$2\le |a-1|<\sqrt{6.5}.$$

С учётом условия $$a\ge 1$$ получаем

$$a\ge 3,\qquad a<1+\sqrt{6.5}.$$

Проверим, при каких значениях $$a$$ на отрезке действительно получается ровно 6 корней. Подходят два случая:

$$3<a\le \frac{7}{2}$$

и

$$\sqrt{10}\le a<\sqrt{11}.$$

Объединяя, получаем

$$a\in\left(3;\frac{7}{2}\right]\cup\left[\sqrt{10};\sqrt{11}\right).$$

При $$a=3$$ отрезок $$[6\pi;10\pi]$$ содержит корни

$$6\pi,\ 7\pi,\ 8\pi,\ 9\pi,\ 10\pi,\ \frac{39\pi}{4}.$$

При $$a\in\left(3;\frac{7}{2}\right]$$ и $$a\in\left[\sqrt{10};\sqrt{11}\right)$$ на отрезке также получается ровно 6 различных корней первой и второй серий.

Ответ

$$a\in\{3\}\cup\left[\sqrt{10};\sqrt{11}\right).$$

При $$a=3$$ корни: $$6\pi,\ 7\pi,\ 8\pi,\ 9\pi,\ 10\pi,\ \frac{39\pi}{4}.$$