Упр.25 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Сократите дробь и вычислите значение полученного выражения при указанном значении $$x$$.

а) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^3+4x^2-9x-36=x^2(x+4)-9(x+4)=(x+4)(x-3)(x+3),$$
$$x^3+2x^2-11x-12=x^3+2x^2+x-12x-12=x(x^2+2x+1)-12(x+1)=(x+1)(x-1)(x+4).$$

Тогда

$$\frac{x^3+4x^2-9x-36}{x^3+2x^2-11x-12} =\frac{(x+4)(x-3)(x+3)}{(x+1)(x-1)(x+4)} =\frac{x+3}{x+1}.$$

При $$x=3$$ получаем:

$$\frac{x+3}{x+1}=\frac{3+3}{3+1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5.$$

б) Разложим числитель и знаменатель:

$$x^3+7x^2+16x+12=x^3+4x^2+4x+3x^2+12x+12$$
$$=x(x^2+4x+4)+3(x^2+4x+4)=(x^2+4x+4)(x+3)=(x+2)^2(x+3),$$
$$x^3+5x^2+8x+4=x^3+4x^2+4x+x^2+4x+4$$
$$=x(x^2+4x+4)+(x^2+4x+4)=(x^2+4x+4)(x+1)=(x+2)^2(x+1).$$

Следовательно,

$$\frac{x^3+7x^2+16x+12}{x^3+5x^2+8x+4} =\frac{(x+2)^2(x+3)}{(x+2)^2(x+1)} =\frac{x+3}{x+1}.$$

При $$x=-2$$ получаем:

$$\frac{x+3}{x+1}=\frac{-2+3}{-2+1}=\frac{1}{-1}=-1.$$

Ответ

а) $$\frac{x+3}{x+1}$$, при $$x=3$$: $$1{,}5$$; б) $$\frac{x+3}{x+1}$$, при $$x=-2$$: $$-1$$.