Упр.249 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 249 (МГУ, хим. ф-т). Для каждого значения параметра а решите уравнение sin2 х + sin2 2х + sin2 3х — 2а (sin х + sin 2х + sin 3х) + cos х — cos 3х + 2а2 = 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/249 118

Преобразуем левую часть уравнения:

$$ \sin^2 x+\sin^2 2x+\sin^2 3x-2a(\sin x+\sin 2x+\sin 3x)+\cos x-\cos 3x+2a^2=0. $$

Используем формулу разности косинусов:

$$ \cos x-\cos 3x=2\sin 2x\sin x. $$

Тогда

$$ \sin^2 x+2\sin x\sin 2x+\sin^2 2x-2a(\sin x+\sin 2x)+a^2+\sin^2 3x-2a\sin 3x+a^2=0. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ (\sin x+\sin 2x)^2-2a(\sin x+\sin 2x)+a^2+(\sin 3x-a)^2=0. $$

Получаем сумму квадратов:

$$ (\sin x+\sin 2x-a)^2+(\sin 3x-a)^2=0. $$

Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$ \begin{cases} \sin x+\sin 2x-a=0,\\ \sin 3x-a=0. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$$ \sin x+\sin 2x=2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}. $$

Тогда система равносильна:

$$ \begin{cases} 2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=a,\\ \sin 3x=a. \end{cases} $$

Так как $$\sin 3x=2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2},$$ то из равенства

$$ 2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2} $$

получаем:

$$ 2\sin \frac{3x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\right)=0. $$

Используем формулу

$$ \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}=2\sin x\sin \frac{x}{2}. $$

Тогда

$$ 4\sin \frac{3x}{2}\sin x\sin \frac{x}{2}=0. $$

Следовательно, либо $$\sin \frac{x}{2}=0,$$ либо $$\sin x=0.$$ В обоих случаях из $$\sin 3x=a$$ получаем $$a=0.$$

При $$a=0$$ система принимает вид:

$$ \begin{cases} \sin \frac{3x}{2}=0,\\ \sin x=0,\\ a=0. \end{cases} $$

Отсюда

$$ x=\frac{2\pi k}{3},\ k\in \mathbb Z, $$

и одновременно

$$ x=\pi n,\ n\in \mathbb Z. $$

Общие решения этих двух множеств:

$$ x=2\pi m,\ m\in \mathbb Z. $$

При $$a\ne 0$$ решений нет.

Ответ

При $$a=0$$: $$x=2\pi m,\ m\in \mathbb Z.$$
При $$a\ne 0$$: корней нет.