Упр.249 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Для каждого значения параметра $$a$$ решите уравнение $$\sin^2 x+\sin^2 2x+\sin^2 3x-2a(\sin x+\sin 2x+\sin 3x)+\cos x-\cos 3x+2a^2=0.$$
Преобразуем левую часть уравнения:
$$\sin^2 x+\sin^2 2x+\sin^2 3x-2a(\sin x+\sin 2x+\sin 3x)+\cos x-\cos 3x+2a^2=0.$$
Используем формулу разности косинусов:
$$\cos x-\cos 3x=2\sin 2x\sin x.$$
Тогда
$$\sin^2 x+2\sin x\sin 2x+\sin^2 2x-2a(\sin x+\sin 2x)+a^2+\sin^2 3x-2a\sin 3x+a^2=0.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$(\sin x+\sin 2x)^2-2a(\sin x+\sin 2x)+a^2+(\sin 3x-a)^2=0.$$
Получаем сумму квадратов:
$$(\sin x+\sin 2x-a)^2+(\sin 3x-a)^2=0.$$
Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$\begin{cases} \sin x+\sin 2x-a=0,\\ \sin 3x-a=0. \end{cases}$$
Преобразуем первое уравнение:
$$\sin x+\sin 2x=2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}.$$
Тогда система равносильна:
$$\begin{cases} 2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=a,\\ \sin 3x=a. \end{cases}$$
Так как $$\sin 3x=2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2},$$ то из равенства
$$2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2}$$
получаем:
$$2\sin \frac{3x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\right)=0.$$
Используем формулу
$$\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}=2\sin x\sin \frac{x}{2}.$$
Тогда
$$4\sin \frac{3x}{2}\sin x\sin \frac{x}{2}=0.$$
Следовательно, либо $$\sin \frac{x}{2}=0,$$ либо $$\sin x=0.$$ В обоих случаях из $$\sin 3x=a$$ получаем $$a=0.$$
При $$a=0$$ система принимает вид:
$$\begin{cases} \sin \frac{3x}{2}=0,\\ \sin x=0,\\ a=0. \end{cases}$$
Отсюда
$$x=\frac{2\pi k}{3},\ k\in \mathbb Z,$$
и одновременно
$$x=\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
Общие решения этих двух множеств:
$$x=2\pi m,\ m\in \mathbb Z.$$
При $$a\ne 0$$ решений нет.
Ответ
При $$a=0$$: $$x=2\pi m,\ m\in \mathbb Z.$$
При $$a\ne 0$$: корней нет.
