Упр.248 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 248 (МГУ, физ. ф-т). 3(2х — а) + 5a корень (2x — а) — 2а2 > 0.
Рассмотрим неравенство
$$3(2x-a)+5a\sqrt{2x-a}-2a^2>0.$$
Область определения:
$$2x-a\ge 0,\qquad x\ge \frac a2.$$
Сделаем замену:
$$t=\sqrt{2x-a},\qquad t\ge 0.$$
Тогда $$2x-a=t^2$$, и неравенство принимает вид
$$3t^2+5at-2a^2>0.$$
Разложим на множители:
$$3t^2+5at-2a^2=(3t-a)(t+2a).$$
Следовательно,
$$ (3t-a)(t+2a)>0.$$
При $t\ge 0$ получаем два случая:
если $$a<0,$$ то $$t+2a>0$$ при достаточно больших $t$, и решение задаётся условием
$$t>\frac a3.$$
Так как $$t\ge 0,$$ это условие выполняется для всех $$t\ge 0$$, то есть
$$\sqrt{2x-a}\ge 0.$$
С учётом области определения получаем
$$x\ge \frac a2.$$
если $$a\ge 0,$$ то оба множителя положительны при
$$t>\frac a3.$$
Тогда
$$\sqrt{2x-a}>\frac a3,$$
откуда
$$2x-a>\frac{a^2}{9},$$
$$x>\frac{a^2}{18}+\frac a2.$$
Итак, решение зависит от знака параметра $a$:
$$ \begin{cases} a<0,\quad x\ge \dfrac a2,\\[4pt] a\ge 0,\quad x>\dfrac{a^2}{18}+\dfrac a2. \end{cases} $$
Ответ
При $$a<0$$: $$x\ge \dfrac a2.$$
При $$a\ge 0$$: $$x>\dfrac{a^2}{18}+\dfrac a2.$$
