Упр.245 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 245 (МГТУ). Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение 8 + 4р(х — 2) = (х — |х|)х имеет единственное решение. Найдите все решения при каждом р. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/245 118

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$8+4p(x-2)=(x-|x|)x.$$

Разберём его по случаям.

1) $$x\ge 0$$. Тогда $$|x|=x$$, и правая часть равна

$$ (x-|x|)x=(x-x)x=0. $$

Получаем

$$8+4p(x-2)=0,$$

то есть

$$4p(x-2)=-8,$$

$$p(x-2)=-2.$$

Если $$p=0,$$ решений нет. При $$p\ne 0$$

$$x=2-\frac{2}{p}=\frac{2p-2}{p}.$$

Чтобы это решение подходило при $$x\ge 0,$$ нужно

$$\frac{2p-2}{p}\ge 0.$$

Отсюда

$$p<0 \quad \text{или} \quad p\ge 1.$$

2) $$x<0$$. Тогда $$|x|=-x,$$ и

$$ (x-|x|)x=(x-(-x))x=2x^2. $$

Получаем

$$8+4p(x-2)=2x^2,$$

или

$$x^2-2px+4p-4=0.$$

Нужно, чтобы это квадратное уравнение имело ровно одно отрицательное решение.

Его дискриминант:

$$D=(-2p)^2-4(4p-4)=4p^2-16p+16=4(p-2)^2.$$

Равенство $$D=0$$ даёт $$p=2,$$ тогда

$$x=\frac{2p}{2}=p=2,$$

но это не подходит, так как $$x<0$$.

При $$D>0$$ корни равны

$$x_{1,2}=p\pm 2\sqrt{p-1}.$$

Чтобы было ровно одно решение на промежутке $$x<0,$$ один корень должен быть отрицательным, а другой не подходить. Проверка показывает, что это происходит при

$$p<0 \quad \text{или} \quad p\ge 1,$$

и тогда из случая $$x\ge 0$$ уже есть одно решение. Чтобы всего решение было единственным, нужно исключить появление второго решения из случая $$x<0$$. Это возможно только при

$$0\le p<1.$$

Тогда решение даёт только первый случай:

$$x=\frac{2p-2}{p}.$$

Проверим отдельно значение $$p=0.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$8= (x-|x|)x.$$

При $$x\ge 0$$ правая часть равна $$0,$$ решений нет. При $$x<0$$ получаем

$$8=2x^2,$$

то есть

$$x^2=4,\quad x=-2.$$

Значит, при $$p=0$$ решение единственно: $$x=-2.$$

При $$p=1$$ из первого случая получаем

$$x=\frac{2\cdot 1-2}{1}=0,$$