Упр.244 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 244 (МИФИ). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х — 1 = корень ((1 — а)х — 1 + За + 2а2) на промежутке (-бесконечность; 5] имеет только одно решение. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/244 118

Рассмотрим уравнение

$$x-1=\sqrt{(1-a)x-1+3a+2a^2}.$$

Так как правая часть неотрицательна, то должно выполняться

$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Возведём уравнение в квадрат:

$$x-1=\sqrt{(1-a)x-1+3a+2a^2}$$

$$\Longleftrightarrow (1-a)x-1+3a+2a^2=(x-1)^2.$$

Получаем квадратное уравнение

$$x^2-(a+1)x+2-3a-2a^2=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4(2-3a-2a^2)=9a^2+14a-7.$$

Чтобы на промежутке $$(-\infty;5]$$ было ровно одно решение, возможны два случая:

1. квадратное уравнение имеет единственный корень, то есть $$D=0$$;
2. уравнение имеет два корня, но только один из них принадлежит промежутку $$[1;5]$$.

Рассмотрим первый случай:

$$9a^2+14a-7=0.$$

$$a=\frac{-14\pm\sqrt{196+252}}{18}=\frac{-14\pm 8\sqrt7}{18}=\frac{-7\pm 4\sqrt7}{9}.$$

При этих значениях параметра корень уравнения равен

$$x=\frac{a+1}{2}.$$

Проверка показывает, что только при

$$a=\frac{-7+4\sqrt7}{9}$$

получаем допустимое решение на промежутке $$(-\infty;5]$$.

Во втором случае нужно, чтобы один корень был не меньше $$1$$, а второй не попадал в $$[1;5]$$. Это приводит к условиям

$$f(1)\ge 0,\quad f(5)\le 0,$$

где

$$f(x)=x^2-(a+1)x+2-3a-2a^2.$$

Тогда

$$f(1)=-2a^2-4a+2\ge 0,$$

$$f(5)=2a^2+8a-18\le 0.$$

Решая систему неравенств, получаем

$$-1\le a\le 0.$$

Но при этих значениях параметра уравнение даёт либо два решения на $$[1;5]$$, либо ни одного, поэтому ровно одно решение не получается.

Следовательно, подходит только значение

$$a=\frac{-7+4\sqrt7}{9}.$$

Ответ

$$\frac{-7+4\sqrt7}{9}$$