Упр.243 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$b$$ уравнение $$|2\cos x-4b+3|=|3\cos x-b|$$ имеет на промежутке только одно решение?

Подробный ответ

Обозначим $$t=\cos x.$$ Тогда исходное уравнение принимает вид

$$|2t-4b+3|=|3t-b|.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(2t-4b+3\right)^2=\left(3t-b\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$4t^2+(3-4b)\cdot 4t+(3-4b)^2=9t^2-6bt+b^2.$$

После приведения подобных получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

$$5t^2-(12-10b)t-(15b^2-24b+9)=0.$$

Так как требуется, чтобы на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ было только одно решение, а функция $$\cos x$$ на этом промежутке принимает каждое значение из $$(-1,1]$$ ровно один раз, нужно, чтобы уравнение по $$t$$ имело единственный корень $$t=1$$.

Подставим $$t=1$$ в уравнение:

$$5-(12-10b)-(15b^2-24b+9)=0.$$

Получаем

$$15b^2-34b+16=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-34)^2-4\cdot 15\cdot 16=1156-960=196,$$

$$b=\frac{34\pm 14}{30}.$$

Следовательно,

$$b_1=\frac{8}{5}, \qquad b_2=\frac{2}{3}.$$

Проверка показывает, что при этих значениях параметра уравнение действительно имеет единственное решение на указанном промежутке: $$x=0$$.