Упр.242 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Для каждого значения параметра $$c$$ решите уравнение:

1. $$\sqrt{\frac{x}{4}+2}=c+\sqrt{\frac{x}{4}-3}$$;
2. $$\sqrt{x^2-4x+4}=c-\sqrt{x^2+6x+9}$$;
3. $$\sin\left(c\sqrt{x-1}+\frac{\pi}{6}\right)=0{,}5$$;
4. $$\left(2^{-x}+4+3c\right)\left(5-c-2^{-x}\right)=0$$.

1. $$\sqrt{\frac{x}{4}+2}=c+\sqrt{\frac{x}{4}-3}$$

   Обозначим $$t=\sqrt{\frac{x}{4}-3}$$, тогда $$t\ge 0$$ и

   $$\sqrt{t^2+5}=c+t.$$

   Возведём в квадрат:

   $$t^2+5=c^2+2ct+t^2,$$

   $$2ct=5-c^2.$$

   Если $$c=0,$$ то получаем $$5=0,$$ что невозможно. Значит, $$c\ne 0.$$ Тогда

   $$t=\frac{5-c^2}{2c}.$$

   Так как $$t\ge 0,$$ то

   $$\frac{5-c^2}{2c}\ge 0.$$

   Отсюда

   $$0<c\le \sqrt5 \quad \text{или} \quad c\le -\sqrt5.$$

   Тогда

   $$x=4(t^2+3)=4\left(\frac{5-c^2}{2c}\right)^2+12.$$

2. $$\sqrt{x^2-4x+4}=c-\sqrt{x^2+6x+9}$$

   Запишем в виде модулей:

   $$|x-2|=c-|x+3|,$$

   то есть

   $$|x-2|+|x+3|=c.$$

   Рассмотрим промежутки, на которых меняются знаки выражений под модулем.

   1) Если $$x<-3,$$ то

   $$|x-2|=2-x,\quad |x+3|=-x-3,$$

   $$2-x-x-3=c,$$

   $$x=\frac{-1-c}{2}.$$

   Условие $$x<-3$$ даёт $$c>5.$$

   2) Если $$-3\le x\le 2,$$ то

   $$|x-2|=2-x,\quad |x+3|=x+3,$$

   $$2-x+x+3=c,$$

   $$c=5.$$

   При $$c=5$$ подходят все $$x\in[-3;2].$$

   3) Если $$x>2,$$ то

   $$|x-2|=x-2,\quad |x+3|=x+3,$$

   $$x-2+x+3=c,$$

   $$x=\frac{c-1}{2}.$$

   Условие $$x>2$$ даёт $$c>5.$$

3. $$\sin\left(c\sqrt{x-1}+\frac{\pi}{6}\right)=0{,}5$$

   Область определения:

   $$x\ge 1.$$

   Так как $$\sin \alpha=\frac12,$$ то

   $$\alpha=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad \alpha=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$c\sqrt{x-1}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

   или

   $$c\sqrt{x-1}+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi k.$$

   Отсюда

   $$c\sqrt{x-1}=2\pi k$$

   или

   $$c\sqrt{x-1}=\frac{2\pi}{3}+2\pi k.$$

   При $$c\ne 0$$ получаем

   $$x=1+\left(\frac{2\pi k}{c}\right)^2$$

   или

   $$x=1+\left(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{c}\right)^2,\quad k\in\mathbb Z.$$

   При $$c=0$$ уравнение сводится к $$\sin\frac{\pi}{6}=0{,}5,$$ значит, подходят все $$x\ge 1.$$

4. $$\left(2^{-x}+4+3c\right)\left(5-c-2^{-x}\right)=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$2^{-x}+4+3c=0 \quad \text{или} \quad 5-c-2^{-x}=0.$$

   1) $$2^{-x}=-4-3c.$$ Так как $$2^{-x}>0,$$ то нужно

   $$-4-3c>0,\quad c<-\frac43.$$

   Тогда

   $$x=-\log_2(-4-3c).$$

   2) $$2^{-x}=5-c.$$ Так как $$2^{-x}>0,$$ то нужно

   $$5-c>0,\quad c<5.$$

   Тогда

   $$x=-\log_2(5-c).$$

   При $$c\ge 5$$ решений нет.

Ответ

а) при $$0<c\le \sqrt5$$ и $$c\le -\sqrt5$$
$$x=4\left(\frac{5-c^2}{2c}\right)^2+12;$$
при $$-\sqrt5<c\le 0$$ и $$c>\sqrt5$$ решений нет.

б) при $$c<5$$ решений нет; при $$c=5$$ $$x\in[-3;2]$$; при $$c>5$$
$$x=\frac{c-1}{2}.$$

в) при $$c=0$$ $$x\ge 1$$; при $$c\ne 0$$
$$x=1+\left(\frac{2\pi k}{c}\right)^2$$
или
$$x=1+\left(\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{c}\right)^2,\quad k\in\mathbb Z.$$

г) при $$c\ge 5$$ решений нет; при $$c<-\frac43$$
$$x=-\log_2(-4-3c);$$
при $$c<5$$
$$x=-\log_2(5-c).$$