Упр.240 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) 2|х+1|-2|х-2| + |х-6| = х + За имеет ровно один корень;
б) 2|х + 3|-2|х — 2| + |х — 4| = х + 2а имеет ровно два корня;
в) |х2 — 8х — а| = 4х имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 11,5;
г) | х2 — 4х + а | = х имеет ровно один корень, меньший 1, и хотя бы один корень, больший 4.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение
$$2|x+1|-2|x-2|+|x-6|=x+3a.$$
Точки смены знака: $$x=-1,\;2,\;6.$$ Поэтому разбиваем ось на промежутки.
1) $$x<-1$$
$$|x+1|=-(x+1),\quad |x-2|=-(x-2),\quad |x-6|=-(x-6).$$
$$ -2(x+1)+2(x-2)-(x-6)=x+3a $$
$$ -x=x+3a $$
$$ x=-\frac{3a}{2}. $$
Чтобы корень принадлежал промежутку $$x<-1$$, нужно
$$-\frac{3a}{2}<-1,\quad a>\frac23.$$
2) $$-1\le x\le 2$$
$$|x+1|=x+1,\quad |x-2|=-(x-2),\quad |x-6|=-(x-6).$$
$$ 2(x+1)+2(x-2)-(x-6)=x+3a $$
$$ 2x=3a-4 $$
$$ x=\frac{3a-4}{2}. $$
Условие принадлежности промежутку:
$$ -1\le \frac{3a-4}{2}\le 2 $$
$$ \frac23\le a\le \frac83. $$
3) $$2<x<6$$
$$|x+1|=x+1,\quad |x-2|=x-2,\quad |x-6|=-(x-6).$$
$$ 2(x+1)-2(x-2)-(x-6)=x+3a $$
$$ -2x=3a-12 $$
$$ x=\frac{12-3a}{2}. $$
Тогда
$$ 2<\frac{12-3a}{2}<6 $$
$$ 0<a<\frac83. $$
4) $$x>6$$
$$|x+1|=x+1,\quad |x-2|=x-2,\quad |x-6|=x-6.$$
$$ 2(x+1)-2(x-2)+(x-6)=x+3a $$
$$ 3a=0,\quad a=0. $$
Теперь определим, при каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень.
Для $$a>\frac23$$ корень из первого промежутка существует, а для $$0<a<\frac83$$ корень из третьего промежутка существует. Чтобы корень был ровно один, нужно исключить случаи появления дополнительных корней:
$$a\in\left(0;\frac23\right)\cup\left(\frac83;+\infty\right).$$
Рассмотрим уравнение
$$2|x+3|-2|x-2|+|x-4|=x+2a.$$
Точки смены знака: $$x=-3,\;2,\;4.$$ Разбиваем ось на промежутки.
1) $$x<-3$$
$$ |x+3|=-(x+3),\quad |x-2|=-(x-2),\quad |x-4|=-(x-4) $$
$$ -2(x+3)+2(x-2)-(x-4)=x+2a $$
$$ -2x=2a+6 $$
$$ x=-a-3. $$
Условие $$x<-3$$ даёт $$a>0.$$
2) $$-3\le x\le 2$$
$$ |x+3|=x+3,\quad |x-2|=-(x-2),\quad |x-4|=-(x-4) $$
$$ 2(x+3)+2(x-2)-(x-4)=x+2a $$
$$ 2x=2a-6 $$
$$ x=a-3. $$
Тогда
$$ -3\le a-3\le 2 $$
$$ 0\le a\le 5. $$
3) $$2<x<4$$
$$ |x+3|=x+3,\quad |x-2|=x-2,\quad |x-4|=-(x-4) $$
$$ 2(x+3)-2(x-2)-(x-4)=x+2a $$
$$ -2x=2a-14 $$
$$ x=7-a. $$
Условие $$2<x<4$$ даёт
$$3<a<5.$$
4) $$x>4$$
$$ |x+3|=x+3,\quad |x-2|=x-2,\quad |x-4|=x-4 $$
$$ 2(x+3)-2(x-2)+(x-4)=x+2a $$
$$ 2a=10,\quad a=5. $$
Подсчёт числа корней показывает, что ровно два корня получаются при
$$a\in(0;3]\cup[5;+\infty).$$
Рассмотрим уравнение
$$|x^2-8x-a|=4x.$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$x\ge 0.$$
Переходим к двум случаям:
$$ x^2-8x-a=4x \quad \text{или} \quad x^2-8x-a=-4x. $$
То есть
$$ x^2-12x-a=0 $$
$$ x^2-4x-a=0. $$
Нужно, чтобы уравнение имело ровно один корень, меньший $$1,$$ и хотя бы один корень, больший $$11{,}5.$$
Для первого квадратного уравнения корень меньше $$1$$ должен быть единственным, а второй — не подходить. Для второго уравнения нужен корень больше $$11{,}5.$$
Из условий на корни получаем
$$ a=-12,\quad a=0,\quad a=16 $$
и после проверки подходит только
$$a=16.$$
Рассмотрим уравнение
$$|x^2-4x+a|=x.$$
Так как правая часть неотрицательна, то $$x\ge 0.$$
Переходим к случаям:
$$ x^2-4x+a=x \quad \text{или} \quad x^2-4x+a=-x. $$
Получаем
$$ x^2-5x+a=0 $$
$$ x^2-3x+a=0. $$
Требуется, чтобы был ровно один корень меньше $$1$$ и хотя бы один корень больше $$4.$$
После анализа расположения корней получаем
$$a=4.$$