Упр.239 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) Постройте график квадратного трёхчлена $$y=x^2+3x+a$$, если известно, что его корни связаны соотношением $$x_1^2+x_2^2=5$$.
б) Постройте график квадратного трёхчлена $$y=x^2-x-a$$, если известно, что его корни связаны соотношением $$x_1^3+x_2^3=4$$.
а) Пусть корни трёхчлена $$y=x^2+3x+a$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета
$$x_1+x_2=-3,\qquad x_1x_2=a.$$
По условию
$$x_1^2+x_2^2=5.$$
Используем формулу
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$
Тогда
$$5=(-3)^2-2a,$$
$$5=9-2a,$$
$$2a=4,$$
$$a=2.$$
Значит, нужно построить график функции
$$y=x^2+3x+2.$$
Найдём основные точки:
$$y=(x+1)(x+2),$$
откуда нули функции:
$$x=-2,\quad x=-1.$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2},$$
$$y_0=\left(-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(-\frac{3}{2}\right)+2=-\frac14.$$
Ось симметрии: $$x=-\frac32.$$
Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\,(0;2).$$
б) Пусть корни трёхчлена $$y=x^2-x-a$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета
$$x_1+x_2=1,\qquad x_1x_2=-a.$$
По условию
$$x_1^3+x_2^3=4.$$
Используем формулу
$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2).$$
Подставим:
$$4=1^3-3x_1x_2\cdot 1,$$
$$4=1-3x_1x_2,$$
$$-3x_1x_2=3,$$
$$x_1x_2=-1.$$
Так как $$x_1x_2=-a,$$ то
$$a=1.$$
Следовательно, нужно построить график функции
$$y=x^2-x-1.$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac12,$$
$$y_0=\left(\frac12\right)^2-\frac12-1=-\frac54.$$
Ось симметрии: $$x=\frac12.$$
Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\,(0;-1).$$
Нули функции:
$$x=\frac{1-\sqrt5}{2},\qquad x=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$
Ответ
а) $$a=2,$$ график функции $$y=x^2+3x+2.$$
б) $$a=1,$$ график функции $$y=x^2-x-1.$$
