Упр.239 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 239 а) Постройте график квадратного трехчлена у = х2 + Зх + а, если известно, что его корни связаны соотношением x1^2 + x2^2 = 5. б) Постройте график квадратного трехчлена у = х2 — х — а, если известно, что его корни связаны соотношением х1^3 + х2^3 = 4. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/239 118

а) Пусть корни трёхчлена $$y=x^2+3x+a$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-3,\qquad x_1x_2=a.$$

По условию

$$x_1^2+x_2^2=5.$$

Используем формулу

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$5=(-3)^2-2a,$$

$$5=9-2a,$$

$$2a=4,$$

$$a=2.$$

Значит, нужно построить график функции

$$y=x^2+3x+2.$$

Найдём основные точки:

$$y=(x+1)(x+2),$$

откуда нули функции:

$$x=-2,\quad x=-1.$$

Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2},$$

$$y_0=\left(-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(-\frac{3}{2}\right)+2=-\frac14.$$

Ось симметрии: $$x=-\frac32.$$

Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\,(0;2).$$

б) Пусть корни трёхчлена $$y=x^2-x-a$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=1,\qquad x_1x_2=-a.$$

По условию

$$x_1^3+x_2^3=4.$$

Используем формулу

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2).$$

Подставим:

$$4=1^3-3x_1x_2\cdot 1,$$

$$4=1-3x_1x_2,$$

$$-3x_1x_2=3,$$

$$x_1x_2=-1.$$

Так как $$x_1x_2=-a,$$ то

$$a=1.$$

Следовательно, нужно построить график функции

$$y=x^2-x-1.$$

Найдём вершину параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac12,$$

$$y_0=\left(\frac12\right)^2-\frac12-1=-\frac54.$$

Ось симметрии: $$x=\frac12.$$

Точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\,(0;-1).$$

Нули функции:

$$x=\frac{1-\sqrt5}{2},\qquad x=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

Ответ

а) $$a=2,$$ график функции $$y=x^2+3x+2.$$

б) $$a=1,$$ график функции $$y=x^2-x-1.$$