Упр.238 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$c \in \mathbb{R}$$ для действительных корней $$x_1$$ и $$x_2$$ уравнения $$x^2 + (4c — c^2 — 1)x + 2c^2 — 1 = 0$$ выполняется равенство $$x_1 + x_2 = 6$$?

По теореме Виета для уравнения

$$x^2+(4c-c^2-1)x+2c^2-1=0$$

имеем

$$x_1+x_2=-(4c-c^2-1)=c^2-4c+1,$$

$$x_1x_2=2c^2-1.$$

По условию

$$x_1+x_2=6.$$

Тогда

$$c^2-4c+1=6,$$

$$c^2-4c-5=0,$$

$$D=16+20=36,$$

$$c_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.$$

Получаем

$$c_1=5,\quad c_2=-1.$$

Проверим наличие действительных корней у исходного уравнения.

При $$c=5$$:

$$x^2-6x+49=0,$$

$$D=36-196=-160<0,$$

действительных корней нет.

При $$c=-1$$:

$$x^2+6x+1=0,$$

$$D=36-4=32>0,$$

действительные корни существуют.

Значит, подходит только значение $$c=-1$$.

Ответ

$$c=-1$$