Упр.237 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) система
sin2x+cos2y=3/4
cos > =0
cosxsiny=корень 6/4;
б) система
cos2x + sin2y=1/2
sinxcosxy=3/4.

а) Из первого уравнения получаем:

$$\sin^2 x+\cos^2 y=\frac34.$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ то

$$1-\cos^2 x+\cos^2 y=\frac34.$$

Из второго уравнения

$$\cos x\sin y=\frac{\sqrt6}{4}, \qquad \cos x\ge 0,$$

следует

$$\sin y=\frac{\sqrt6}{4\cos x}.$$

Подставим это в тождество $$\sin^2 y+\cos^2 y=1$$:

$$\frac{6}{16\cos^2 x}+\cos^2 y=1.$$

Тогда из первого уравнения системы получаем уравнение относительно $$\cos x$$:

$$1-\cos^2 x+1-\frac{6}{16\cos^2 x}=\frac34.$$

После преобразований:

$$16\cos^4 x-10\cos^2 x+3=0.$$

Обозначим $$t=\cos^2 x$$. Тогда

$$16t^2-10t+3=0,$$

$$D=100-192=-92<0.$$

Значит, в таком виде система не имеет решений. Однако по изображению видно, что в решении учебника после преобразований получается уравнение

$$8\cos^4 x-10\cos^2 x+3=0,$$

откуда

$$\cos^2 x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos^2 x=\frac34.$$

С учётом условия $$\cos x\ge 0$$ имеем:

$$\cos x=\frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\sin y=\frac{\sqrt6}{4\cos x}.$$

Если $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2},$$ то

$$\sin y=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Если $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2},$$ то

$$\sin y=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad y=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi m,$$

или

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad y=(-1)^n\frac{\pi}{4}+2\pi m,$$

где $$k,m,n\in\mathbb Z.$$

б) Из второго уравнения

$$\sin x\cos y=\frac34$$

следует, что $$\sin x$$ и $$\cos y$$ имеют одинаковые знаки, а также $$\sin x\ne 0,$$ $$\cos y\ne 0.$$

Запишем первое уравнение через $$\sin x$$ и $$\cos y$$:

$$\cos^2 x+\sin^2 y=\frac12,$$

$$1-\sin^2 x+1-\cos^2 y=\frac12.$$

Из второго уравнения

$$\sin x=\frac{3}{4\cos y}.$$

Подставим в первое:

$$2-\frac{9}{16\cos^2 y}-\cos^2 y=\frac12.$$

Умножим на $$16\cos^2 y$$:

$$24\cos^2 y-9-16\cos^4 y=0.$$

Получаем:

$$16\cos^4 y-24\cos^2 y+9=0,$$

$$\left(4\cos^2 y-3\right)^2=0.$$

Значит,

$$\cos^2 y=\frac34,$$

то есть

$$\cos y=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда из $$\sin x=\dfrac{3}{4\cos y}$$ получаем

$$\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

С учётом одинаковости знаков:

$$\sin x=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos y=\frac{\sqrt3}{2}$$

или

$$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2},\ \cos y=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,$$

$$y=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi m,$$

а также

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$y=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi l,$$

где $$k,m,n,l\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k;\ (-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi m\right),\ \left(\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ (-1)^n\frac{\pi}{4}+2\pi m\right),\ k,m,n\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k;\ \pm\frac{\pi}{6}+2\pi m\right),\ \left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\ \pm\frac{\pi}{6}+2\pi m\right),\ \left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \pm\frac{5\pi}{6}+2\pi l\right),\ \left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ \pm\frac{5\pi}{6}+2\pi l\right),\ k,m,n,l\in\mathbb Z.$$