Упр.236 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 236 (МГУ, мехмат). Решите систему:

Подробный ответ

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} 2^{x+2}=\dfrac{49}{4}x^2+4,\\ 2^{x+2}-4\le x^2(14-2^{x+2})\cdot 2^x. \end{cases} $$

Так как $$2^{x+2}=4\cdot 2^x,$$ получаем

$$ \begin{cases} 4\cdot 2^x=\dfrac{49}{4}x^2+4,\\ 4\cdot 2^x-4\le x^2(14-4\cdot 2^x)\cdot 2^x. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ 2^x=\dfrac{49}{16}x^2+1. $$

Подставим это во второе неравенство:

$$ 4\left(\dfrac{49}{16}x^2+1\right)-4\le x^2\left(14-4\left(\dfrac{49}{16}x^2+1\right)\right)\left(\dfrac{49}{16}x^2+1\right). $$

Упростим:

$$ x^2\left(10-\dfrac{49}{4}x^2\right)\left(\dfrac{49}{16}x^2+1\right)-1\ge 0. $$

Сделаем замену:

$$ y=\dfrac{49}{16}x^2,\qquad y\ge 0. $$

Тогда неравенство принимает вид

$$ (10-4y)(y+1)-1\ge 0, $$

то есть

$$ 4y^2-6y-9\le 0. $$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$ D=(-6)^2-4\cdot 4\cdot(-9)=36+144=180=36\cdot 5, $$
$$ y_{1,2}=\dfrac{6\pm 6\sqrt5}{8}=\dfrac{3\pm 3\sqrt5}{4}. $$

Так как коэффициент при $$y^2$$ положителен, то

$$ \dfrac{3-3\sqrt5}{4}\le y\le \dfrac{3+3\sqrt5}{4}. $$

С учётом условия $$y\ge 0$$ получаем

$$ 0\le y\le \dfrac{3+3\sqrt5}{4}. $$

Возвращаясь к переменной $$x$$:

$$ 0\le \dfrac{49}{16}x^2\le \dfrac{3+3\sqrt5}{4}, $$
$$ x^2\le \dfrac{4(3+3\sqrt5)}{49}. $$

Но из уравнения $$2^x=\dfrac{49}{16}x^2+1$$ видно, что при $$x=0$$ оно выполняется, и это значение удовлетворяет неравенству. Проверка показывает, что других решений система не имеет.

а) $$x=0$$.

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} 3^{x+1}=\dfrac{49}{3}x^2+3,\\ 3^{x+1}-3\le x^2(14-3^{x+1})\cdot 3^x. \end{cases} $$

Так как $$3^{x+1}=3\cdot 3^x,$$ имеем

$$ \begin{cases} 3\cdot 3^x=\dfrac{49}{3}x^2+3,\\ 3\cdot 3^x-3\le x^2(14-3\cdot 3^x)\cdot 3^x. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ 3^x=\dfrac{49}{9}x^2+1. $$

При $$x\le 0$$ функция $$3^x$$ возрастает, а функция $$\dfrac{49}{9}x^2+1$$ убывает, поэтому уравнение имеет единственное решение $$x=0$$.

Проверим его во втором неравенстве:

$$ 3-3\le 0, $$

что верно. Следовательно, система имеет решение $$x=0$$.

б) $$x=0$$.