Упр.235 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 235 Решите систему неравенств: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/235 118

Подробный ответ

а)

$$ \begin{cases} \dfrac{7x}{3}-\dfrac{11(x+3)}{6}\ge \dfrac{3x-1}{5}-\dfrac{13-x}{2},\\[6pt] (1-x)^2\le (x+5)(x-1) \end{cases} $$

Умножим первое неравенство на $$30$$:
$$ 70x-55(x+3)\ge 6(3x-1)-15(13-x). $$
$$ 70x-55x-165\ge 18x-6-195+15x $$
$$ 15x-165\ge 33x-201 $$
$$ -18x\ge -36 $$
$$ x\le 2. $$

Второе неравенство:
$$ (1-x)^2\le (x+5)(x-1) $$
$$ (x-1)^2-(x+5)(x-1)\le 0 $$
$$ (x-1)\bigl((x-1)-(x+5)\bigr)\le 0 $$
$$ -6(x-1)\le 0 $$
$$ x\ge 1. $$

Пересекаем решения:
$$ x\in [1;2]. $$

б)

$$ \begin{cases} \sqrt{3+\dfrac{15}{12-x}}-8\sqrt{\dfrac13-\dfrac{5}{51-3x}}>-2,\\[8pt] \sqrt{x^2-3x-10}\le 2x+4 \end{cases} $$

Преобразуем первое неравенство:
$$ 3+\dfrac{15}{12-x}=\dfrac{51-3x}{12-x},\qquad \dfrac13-\dfrac{5}{51-3x}=\dfrac{36-3x}{3(51-3x)}. $$
Тогда
$$ \sqrt{\dfrac{51-3x}{12-x}}-8\sqrt{\dfrac{36-3x}{3(51-3x)}}>-2. $$
Пусть
$$ t=\sqrt{\dfrac{51-3x}{12-x}},\qquad t>0. $$
Тогда
$$ t-\dfrac{8}{t}>-2 $$
$$ t^2+2t-8>0 $$
$$ (t+4)(t-2)>0. $$
Так как $$t>0$$, получаем
$$ t>2. $$
Значит,
$$ \sqrt{\dfrac{51-3x}{12-x}}>2 $$
$$ \dfrac{51-3x}{12-x}>4 $$
$$ \dfrac{x+3}{12-x}>0. $$
Отсюда
$$ -3

Решим второе неравенство:
$$ \sqrt{x^2-3x-10}\le 2x+4. $$
Необходимо:
$$ 2x+4\ge 0,\qquad x^2-3x-10\ge 0. $$
Тогда
$$ x^2-3x-10\le (2x+4)^2 $$
$$ x^2-3x-10\le 4x^2+16x+16 $$
$$ 3x^2+19x+26\ge 0 $$
$$ (3x+13)(x+2)\ge 0. $$
Отсюда
$$ x\le -\dfrac{13}{3}\quad \text{или}\quad x\ge -2. $$
С учётом условий
$$ x\ge -2,\qquad x^2-3x-10\ge 0 \Rightarrow x\le -2 \text{ или } x\ge 5, $$
получаем
$$ x=-2 \quad \text{или}\quad x\ge 5. $$

Пересекаем с условием первого неравенства $$-3<x<12$$:
$$ x\in \{-2\}\cup [5;12). $$