Упр.234 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

9*2x *5y-5*3^(y+x) = 3x*5y
2^(x-2) * 3^(y-x+1) * 5^(1-y) = 1.

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 9\cdot 2^x \cdot 5^y — 5\cdot 3^{x+y} = 3^x \cdot 5^y,\\ 2^{x-2}\cdot 3^{y-x+1}\cdot 5^{1-y}=1. \end{cases} $$

Разделим первое уравнение на $$3^x\cdot 5^y$$, а второе преобразуем:

$$ \begin{cases} 9\left(\dfrac{2}{3}\right)^x — 5\left(\dfrac{3}{5}\right)^y = 1,\\ 2^x\cdot 3\cdot 3^y\cdot 5 = 4\cdot 3^x\cdot 5^y. \end{cases} $$

Второе уравнение разделим на $$3^x\cdot 5^y$$:

$$ \begin{cases} 9\left(\dfrac{2}{3}\right)^x — 5\left(\dfrac{3}{5}\right)^y = 1,\\ 4\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\left(-5\left(\dfrac{3}{5}\right)^y\right)=-12. \end{cases} $$

Сделаем замену:

$$ a=9\left(\dfrac{2}{3}\right)^x,\qquad b=-5\left(\dfrac{3}{5}\right)^y. $$

Тогда система принимает вид:

$$ \begin{cases} a+b=1,\\ ab=-12. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$b=1-a$$. Подставим во второе:

$$ a(1-a)=-12 $$

$$ a^2-a-12=0 $$

$$ (a-4)(a+3)=0 $$

Отсюда $$a=4$$ или $$a=-3$$. Но по смыслу $$a>0$$, значит $$a=4$$, тогда

$$ b=1-4=-3. $$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ 9\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=4,\qquad -5\left(\dfrac{3}{5}\right)^y=-3. $$

$$ \left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\dfrac{4}{9}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2,\qquad \left(\dfrac{3}{5}\right)^y=\dfrac{3}{5}. $$

Следовательно,

$$ x=2,\qquad y=1. $$

Ответ

$$ (2;\,1) $$