Упр.233 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 233 (МГУ, геол. ф-т).

Обозначим

$$u=\frac{xy}{2}, \qquad v=2x+y-xy.$$

Тогда исходная система принимает вид

$$ \begin{cases} u+\frac{5}{v}=5,\\ v+\frac{5}{u}=4. \end{cases} $$

Из первого уравнения

$$u=5-\frac{5}{v}=5\left(1-\frac{1}{v}\right).$$

Из второго уравнения

$$v+\frac{5}{u}=4 \;\Rightarrow\; \frac{5}{u}=4-v \;\Rightarrow\; u=\frac{5}{4-v}.$$

Приравниваем выражения для $u$:

$$5\left(1-\frac{1}{v}\right)=\frac{5}{4-v}.$$

После преобразований получаем квадратное уравнение для $v$:

$$v^2-4v+4=0,$$

откуда

$$v=2.$$

Тогда

$$u=5\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\frac{xy}{2}=\frac{5}{2}, \qquad 2x+y-xy=2.$$

Следовательно,

$$xy=5, \qquad 2x+y=7.$$

Подставим $y=\frac{5}{x}$ во второе уравнение:

$$2x+\frac{5}{x}=7.$$

Умножим на $x$:

$$2x^2-7x+5=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$ D=49-40=9, \qquad x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{4}. $$

Получаем

$$x_1=1, \qquad x_2=\frac{5}{2}.$$

Тогда

$$y_1=5, \qquad y_2=2.$$

Ответ

$$\{(1;5),\left(\frac{5}{2};2\right)\}$$