Упр.232 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

sinx|siny| = |cosx|/cosx
|cosx — 1|2 + |siny|2=4.

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \sin x\,|\sin y|=\dfrac{|\cos x|}{\cos x},\\ |\cos x-1|^2+|\sin y|^2=4. \end{cases} $$

Так как $$\dfrac{|\cos x|}{\cos x}$$ определено только при $$\cos x\neq 0$$, то это условие учитываем.

Из первого уравнения левая часть неотрицательна, а правая равна $$1$$ или $$-1$$. Значит, правая часть должна быть равна $$1$$, то есть $$\cos x>0$$, и тогда

$$ \sin x\,|\sin y|=1. $$

Поскольку $$|\sin y|\le 1$$ и $$|\sin x|\le 1$$, равенство возможно только при

$$ |\sin x|=1,\qquad |\sin y|=1. $$

Тогда из второго уравнения получаем

$$ |\cos x-1|^2+1=4, $$

то есть

$$ (\cos x-1)^2=3. $$

Следовательно,

$$ \cos x-1=\pm\sqrt3. $$

Но так как $$\cos x\le 1$$ и $$\cos x>0$$, подходит только

$$ \cos x=1-\sqrt3. $$

Это значение допустимо, и тогда из $$|\sin y|=1$$ получаем

$$ \sin y=\pm 1. $$

Однако из первого уравнения должно выполняться $$\sin x\,|\sin y|=1$$, значит $$\sin x=1$$ и $$|\sin y|=1$$. Тогда

$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z, $$

$$ y=\frac{\pi}{2}+\pi m,\quad m\in\mathbb Z. $$

Проверка показывает, что при $$\sin x=1$$ и $$|\sin y|=1$$ первое уравнение даёт $$1$$, а второе выполняется.

Ответ

$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad y=\frac{\pi}{2}+\pi m,\quad k,m\in\mathbb Z. $$