Упр.232 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Система:

$$\begin{cases} \sin x\,|\sin y|=\dfrac{|\cos x|}{\cos x},\\ |\cos x-1|^2+|\sin y|^2=4. \end{cases}$$

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \sin x\,|\sin y|=\dfrac{|\cos x|}{\cos x},\\ |\cos x-1|^2+|\sin y|^2=4. \end{cases}$$

Так как $$\dfrac{|\cos x|}{\cos x}$$ определено только при $$\cos x\neq 0$$, то это условие учитываем.

Из первого уравнения левая часть неотрицательна, а правая равна $$1$$ или $$-1$$. Значит, правая часть должна быть равна $$1$$, то есть $$\cos x>0$$, и тогда

$$\sin x\,|\sin y|=1.$$

Поскольку $$|\sin y|\le 1$$ и $$|\sin x|\le 1$$, равенство возможно только при

$$|\sin x|=1,\qquad |\sin y|=1.$$

Тогда из второго уравнения получаем

$$|\cos x-1|^2+1=4,$$

то есть

$$(\cos x-1)^2=3.$$

Следовательно,

$$\cos x-1=\pm\sqrt3.$$

Но так как $$\cos x\le 1$$ и $$\cos x>0$$, подходит только

$$\cos x=1-\sqrt3.$$

Это значение допустимо, и тогда из $$|\sin y|=1$$ получаем

$$\sin y=\pm 1.$$

Однако из первого уравнения должно выполняться $$\sin x\,|\sin y|=1$$, значит $$\sin x=1$$ и $$|\sin y|=1$$. Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$y=\frac{\pi}{2}+\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что при $$\sin x=1$$ и $$|\sin y|=1$$ первое уравнение даёт $$1$$, а второе выполняется.

Ответ

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad y=\frac{\pi}{2}+\pi m,\quad k,m\in\mathbb Z.$$