Упр.231 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}\log_2\sqrt{y}=-3^{1-x},\\3x+\log_2(y)=1.\end{cases}$$
2. б) $$\begin{cases}3\sin x+\cos y=0,\\6\cos x-2\sin y=7.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_2 \sqrt{y}=-3^{\,1-x},\\ 3^x+\log_2 y=1. \end{cases}$$

Так как $$y>0,$$ то

$$\log_2 \sqrt{y}=\frac12 \log_2 y.$$

Тогда система равносильна

$$\begin{cases} \frac12 \log_2 y=-3\cdot 3^{-x},\\ 3^x+\log_2 y=1. \end{cases}$$

Сделаем замену:

$$a=3^x,\qquad b=\log_2 y,\qquad a>0.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} \frac12 b=-\frac{3}{a},\\ a+b=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$ab=-6,$$ а из второго $$b=1-a.$$ Подставим:

$$a(1-a)=-6$$

$$a-a^2=-6$$

$$a^2-a-6=0$$

$$(a-3)(a+2)=0.$$

С учётом условия $$a>0$$ получаем $$a=3.$$ Тогда

$$b=1-a=1-3=-2.$$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$3^x=3,\qquad \log_2 y=-2.$$

Отсюда

$$x=1,\qquad y=\frac14.$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 3\sin x+\cos y=0,\\ 6\cos x-2\sin y=7. \end{cases}$$

Перепишем её:

$$\begin{cases} 6\sin x=-2\cos y,\\ 6\cos x=2\sin y+7. \end{cases}$$

Возведём оба уравнения в квадрат и сложим:

$$36\sin^2 x+36\cos^2 x=4\cos^2 y+4\sin^2 y+28\sin y+49.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и $$\sin^2 y+\cos^2 y=1,$$ получаем

$$36=4+28\sin y+49.$$

Отсюда

$$-28\sin y=17,\qquad \sin y=-\frac{17}{28}.$$

Из первого уравнения системы

$$3\sin x=-\cos y.$$

Так как $$\sin y<0,$$ то

$$\cos y=\frac{27}{28},$$

и тогда

$$\sin x=-\frac{9}{28}.$$

Следовательно, решения системы задаются условиями

$$\sin x=-\frac{9}{28},\qquad \cos y=\frac{27}{28}.$$

То есть

$$x=-\arcsin\frac{9}{28}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\pi+\arcsin\frac{9}{28}+2\pi k,$$

$$y=\pm \arccos\frac{27}{28}+2\pi n,$$

где $$k,n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(1;\frac14\right)$$

б) $$\sin y=-\frac{17}{28},\ \cos x=\frac{27}{28};$$

$$x=-\arcsin\frac{9}{28}+2\pi k \ \text{или}\ x=\pi+\arcsin\frac{9}{28}+2\pi k,\quad y=\pm \arccos\frac{27}{28}+2\pi n,\ k,n\in\mathbb Z.$$