Упр.231 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

log2 (корень y) = -3^(1-x)
3x+log2(y) =1;
б) система
3sinx + cosy=0
6cosx-2siny=7.

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \log_2 \sqrt{y}=-3^{\,1-x},\\ 3^x+\log_2 y=1. \end{cases} $$

Так как $$y>0,$$ то

$$ \log_2 \sqrt{y}=\frac12 \log_2 y. $$

Тогда система равносильна

$$ \begin{cases} \frac12 \log_2 y=-3\cdot 3^{-x},\\ 3^x+\log_2 y=1. \end{cases} $$

Сделаем замену:

$$ a=3^x,\qquad b=\log_2 y,\qquad a>0. $$

Получаем систему

$$ \begin{cases} \frac12 b=-\frac{3}{a},\\ a+b=1. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$ab=-6,$$ а из второго $$b=1-a.$$ Подставим:

$$ a(1-a)=-6 $$

$$ a-a^2=-6 $$

$$ a^2-a-6=0 $$

$$ (a-3)(a+2)=0. $$

С учётом условия $$a>0$$ получаем $$a=3.$$ Тогда

$$ b=1-a=1-3=-2. $$

Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

$$ 3^x=3,\qquad \log_2 y=-2. $$

Отсюда

$$ x=1,\qquad y=\frac14. $$

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} 3\sin x+\cos y=0,\\ 6\cos x-2\sin y=7. \end{cases} $$

Перепишем её:

$$ \begin{cases} 6\sin x=-2\cos y,\\ 6\cos x=2\sin y+7. \end{cases} $$

Возведём оба уравнения в квадрат и сложим:

$$ 36\sin^2 x+36\cos^2 x=4\cos^2 y+4\sin^2 y+28\sin y+49. $$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и $$\sin^2 y+\cos^2 y=1,$$ получаем

$$ 36=4+28\sin y+49. $$

Отсюда

$$ -28\sin y=17,\qquad \sin y=-\frac{17}{28}. $$

Из первого уравнения системы

$$ 3\sin x=-\cos y. $$

Так как $$\sin y<0,$$ то

$$ \cos y=\frac{27}{28}, $$

и тогда

$$ \sin x=-\frac{9}{28}. $$

Следовательно, решения системы задаются условиями

$$ \sin x=-\frac{9}{28},\qquad \cos y=\frac{27}{28}. $$

То есть

$$ x=-\arcsin\frac{9}{28}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\pi+\arcsin\frac{9}{28}+2\pi k, $$

$$ y=\pm \arccos\frac{27}{28}+2\pi n, $$

где $$k,n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(1;\frac14\right)$$

б) $$\sin y=-\frac{17}{28},\ \cos x=\frac{27}{28};$$

$$ x=-\arcsin\frac{9}{28}+2\pi k \ \text{или}\ x=\pi+\arcsin\frac{9}{28}+2\pi k,\quad y=\pm \arccos\frac{27}{28}+2\pi n,\ k,n\in\mathbb Z. $$