Упр.230 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
|x+y| + log^2 2(|x| — y+5) -12=0
(x+y)2 — 5(x+y)* log2(|x| — y+5) + 4log^2 2(|x| -y+5)=0.
Обозначим
$$a=x+y,\qquad b=\log_2(|x|-y+5).$$
Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} |a|+b^2-12=0,\\ a^2-5ab+4b^2=0. \end{cases} $$
Второе уравнение разложим на множители:
$$ a^2-5ab+4b^2=(a-b)(a-4b)=0. $$
Значит, либо $$a=b,$$ либо $$a=4b.$$
1) Пусть $$a=b$$. Тогда из первого уравнения получаем
$$ |a|+a^2-12=0. $$
Если $$a\ge 0,$$ то $$a+a^2-12=0,$$ откуда $$a=3$$ или $$a=-4$$, но подходит только $$a=3.$$
Если $$a<0,$$ то $$-a+a^2-12=0,$$ откуда $$a=-3$$ или $$a=4,$$ но подходит только $$a=-3.$$
Следовательно,
$$a=b=3 \quad \text{или} \quad a=b=-3.$$
Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$.
При $$a=b=3$$ имеем
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ \log_2(|x|-y+5)=3. \end{cases} $$
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$ и
$$ \log_2(x-y+5)=3 \Rightarrow x-y+5=8 \Rightarrow x-y=3. $$
Совместно с $$x+y=3$$ получаем $$x=3,\ y=0.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и
$$ \log_2(-x-y+5)=3 \Rightarrow -x-y+5=8 \Rightarrow x+y=-3, $$
что противоречит условию $$x+y=3.$$
Значит, отсюда получаем только точку $$$(3,0).$$
При $$a=b=-3$$ имеем
$$ \begin{cases} x+y=-3,\\ \log_2(|x|-y+5)=-3. \end{cases} $$
Если $$x\ge 0,$$ то
$$ \log_2(x-y+5)=-3 \Rightarrow x-y+5=\frac18, $$
что невозможно при $$x\ge 0.$$
Если $$x<0,$$ то
$$ \log_2(-x-y+5)=-3 \Rightarrow -x-y+5=\frac18. $$
Совместно с $$x+y=-3$$ получаем
$$ \begin{cases} x+y=-3,\\ -x-y+5=\frac18, \end{cases} $$
откуда $$5=\frac18,$$ противоречие. Значит, решений здесь нет.
2) Пусть $$a=4b$$. Тогда из первого уравнения
$$ |4b|+b^2-12=0. $$
Если $$b\ge 0,$$ то $$4b+b^2-12=0,$$ откуда $$b=2$$ или $$b=-6,$$ подходит только $$b=2.$$ Тогда $$a=8.$$
Если $$b<0,$$ то $$-4b+b^2-12=0,$$ откуда $$b=-2$$ или $$b=6,$$ подходит только $$b=-2.$$ Тогда $$a=-8.$$
Рассмотрим эти случаи.
При $$a=8,\ b=2$$ получаем
$$ \begin{cases} x+y=8,\\ \log_2(|x|-y+5)=2. \end{cases} $$
Если $$x\ge 0,$$ то
$$ \log_2(x-y+5)=2 \Rightarrow x-y+5=4 \Rightarrow x-y=-1, $$
и вместе с $$x+y=8$$ получаем $$x=\frac72,\ y=\frac92.$$
Если $$x<0,$$ то
$$ \log_2(-x-y+5)=2 \Rightarrow -x-y+5=4 \Rightarrow x+y=1, $$
что противоречит $$x+y=8.$$
При $$a=-8,\ b=-2$$ получаем
$$ \begin{cases} x+y=-8,\\ \log_2(|x|-y+5)=-2. \end{cases} $$
Если $$x\ge 0,$$ то
$$ \log_2(x-y+5)=-2 \Rightarrow x-y+5=\frac14, $$
что невозможно.
Если $$x<0,$$ то
$$ \log_2(-x-y+5)=-2 \Rightarrow -x-y+5=\frac14, $$
и вместе с $$x+y=-8$$ получаем противоречие.
Следовательно, из второго случая решений нет.
Итак, система имеет два решения:
$$ (3,0),\qquad \left(\frac72,\frac92\right). $$
Ответ
$$\left\{(3,0),\left(\frac72,\frac92\right)\right\}$$
