Упр.23 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 23

Упростим выражение:

$$ \left(\frac{(a+2-a)(a+2+a)}{4(a^2-1)}-\frac{3}{a(a-1)}\right)\cdot \frac{a^3-1}{a-3} $$

Так как $$a+2-a=2$$, $$a+2+a=2(a+1)$$, а $$a^2-1=(a-1)(a+1)$$, то

$$ \frac{(a+2-a)(a+2+a)}{4(a^2-1)} = \frac{2\cdot 2(a+1)}{4(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a-1}. $$

Тогда

$$ \left(\frac{1}{a-1}-\frac{3}{a(a-1)}\right)\cdot \frac{a^3-1}{a-3} = \left(\frac{a-3}{a(a-1)}\right)\cdot \frac{a^3-1}{a-3}. $$

Сократим на $$a-3$$:

$$ \frac{a^3-1}{a(a-1)}. $$

Разложим числитель на множители:

$$ a^3-1=(a-1)(a^2+a+1). $$

Тогда

$$ \frac{(a-1)(a^2+a+1)}{a(a-1)}=\frac{a^2+a+1}{a}=a+1+\frac{1}{a}. $$

При $$a=\frac13$$ получаем:

$$ a+1+\frac{1}{a}=\frac13+1+3=4\frac13. $$

Ответ

$$ a+1+\frac{1}{a}, \quad \text{при } a=\frac13 \text{ значение равно } 4\frac13. $$