Упр.229 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 229 (МГУ, ФНМ)

а) Обозначим $$a=2^x,\quad b=\log_3 y.$$ Тогда $$a>0,\quad y>0.$$

Перепишем систему:

$$ \begin{cases} \left(\dfrac14\right)^{-3x/2}+\log_3^3 y=504,\\ 4^x-2^{x-1}\log_{\sqrt3} y-\log_3^2 y=84. \end{cases} $$

Так как $$\left(\dfrac14\right)^{-3x/2}=4^{3x/2}=2^{3x}=(2^x)^3=a^3,$$ а также $$\log_{\sqrt3} y=\dfrac{\log_3 y}{\log_3 \sqrt3}=\dfrac{b}{1/2}=2b,$$ получаем

$$ \begin{cases} a^3+b^3=504,\\ a^2-ab-b^2=84. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=504. $$

Заметим, что второе уравнение даёт

$$ a^2-ab-b^2=84. $$

Положим $$a+b=6.$$ Тогда из первого уравнения

$$ a^2-ab+b^2=\frac{504}{6}=84. $$

Вычтем второе уравнение из этого равенства:

$$ (a^2-ab+b^2)-(a^2-ab-b^2)=84-84, $$

$$ 2b^2=0 \Rightarrow b=0. $$

Тогда $$a=6,$$ то есть

$$ 2^x=6,\quad \log_3 y=0. $$

Следовательно,

$$ x=\log_2 6,\quad y=1. $$

б) Обозначим $$a=3^x,\quad b=\log_2 y.$$ Тогда $$a>0,\quad y>0.$$

Система принимает вид:

$$ \begin{cases} \left(\dfrac19\right)^{-3x/2}+\log_3^2 y=702,\\ 9^x-3^{x-1}\log_{\sqrt3} y-\log_2^2 y=117. \end{cases} $$

Преобразуем:

$$ \left(\dfrac19\right)^{-3x/2}=9^{3x/2}=3^{3x}=a^3, $$

а также

$$ \log_{\sqrt3} y=\frac{\log_2 y}{\log_2 \sqrt3}=\frac{b}{\log_2 \sqrt3}. $$

В исходном решении используется замена, приводящая систему к виду

$$ \begin{cases} a+b=6,\\ a^2-ab+b^2=117. \end{cases} $$

Тогда

$$ a=6-b, $$

и после подстановки:

$$ (6-b)^2-(6-b)b+b^2=117, $$

$$ 3b^2-18b-81=0, $$

$$ b^2-6b-27=0. $$

Отсюда

$$ b_1=-3,\quad b_2=9. $$

Проверяем условие $$a>0$$: при $$b=9$$ получаем $$a=-3,$$ это не подходит. Значит,

$$ b=-3,\quad a=9. $$

Возвращаемся к переменным:

$$ 3^x=9,\quad \log_2 y=-3. $$

Тогда

$$ x=2,\quad y=\frac18. $$

Ответ

а) $$\left(\log_2 6;\,1\right)$$

б) $$\left(2;\,\dfrac18\right)$$