Упр.228 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\begin{cases}2^{y-3}=8^{x-2},\\2\log_3(y-x)-\log_3(x)=1;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}2^y=4^{x-3},\\2\log_2(x-y)-\log_2(y)=1.\end{cases}$$
а) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 2^{y-3}=8^{x-2},\\ 2\log_3(y-x)-\log_3 x=1. \end{cases}$$
Из области определения получаем:
$$y-x>0,\quad x>0.$$
Значит, $$y>x$$ и $$x>0$$.
Преобразуем уравнения:
$$8^{x-2}=(2^3)^{x-2}=2^{3x-6},$$
поэтому
$$2^{y-3}=2^{3x-6}\Rightarrow y-3=3x-6 \Rightarrow y=3x-3.$$
Второе уравнение:
$$2\log_3(y-x)-\log_3 x=\log_3 (y-x)^2-\log_3 x =\log_3\frac{(y-x)^2}{x}=1.$$
Тогда
$$\frac{(y-x)^2}{x}=3.$$
Подставим $$y=3x-3$$:
$$\frac{(3x-3-x)^2}{x}=3 \Rightarrow \frac{(2x-3)^2}{x}=3.$$
$$(2x-3)^2=3x \Rightarrow 4x^2-12x+9=3x \Rightarrow 4x^2-15x+9=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=15^2-4\cdot 4\cdot 9=225-144=81,$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 9}{8}.$$
Получаем:
$$x_1=3,\quad x_2=\frac34.$$
Тогда
$$y_1=3\cdot 3-3=6,\quad y_2=3\cdot \frac34-3=-\frac34.$$
Пара $$\left(\frac34,-\frac34\right)$$ не подходит, так как $$y-x<0$$. Остаётся решение $$(3;6)$$.
б) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 2^y=4^{x-3},\\ 2\log_2(x-y)-\log_2 y=1. \end{cases}$$
Из области определения:
$$x-y>0,\quad y>0.$$
Значит, $$x>y$$ и $$y>0$$.
Преобразуем первое уравнение:
$$4^{x-3}=(2^2)^{x-3}=2^{2x-6},$$
поэтому
$$2^y=2^{2x-6}\Rightarrow y=2x-6.$$
Второе уравнение:
$$2\log_2(x-y)-\log_2 y =\log_2 (x-y)^2-\log_2 y =\log_2\frac{(x-y)^2}{y}=1.$$
Тогда
$$\frac{(x-y)^2}{y}=2.$$
Подставим $$y=2x-6$$:
$$\frac{(x-2x+6)^2}{2x-6}=2 \Rightarrow \frac{(6-x)^2}{2x-6}=2.$$
$$(6-x)^2=4x-12 \Rightarrow x^2-16x+48=0.$$
Решаем уравнение:
$$D=16^2-4\cdot 48=256-192=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{16\pm 8}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=12,\quad x_2=4.$$
Тогда
$$y_1=2\cdot 12-6=18,\quad y_2=2\cdot 4-6=2.$$
Обе пары не удовлетворяют условию $$x>y$$? Проверим: $$12>18$$ — нет, $$4>2$$ — да, но подстановка в первое уравнение даёт $$2^2=4^{1}$$, верно. Значит, подходит только пара $$(4;2)$$.
Ответ
а) $$(3;6)$$; б) $$(4;2)$$.
