Упр.228 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

2^(y-3) = 8^(x-2)
2log3(y-x)-log3(x) =1;
б) система
2y = 4^(x-3)
2log2(x-y)-log2(y) =1.

Подробный ответ

а) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 2^{y-3}=8^{x-2},\\ 2\log_3(y-x)-\log_3 x=1. \end{cases} $$
Из области определения получаем:
$$ y-x>0,\quad x>0. $$
Значит, $$y>x$$ и $$x>0$$.
Преобразуем уравнения:
$$ 8^{x-2}=(2^3)^{x-2}=2^{3x-6}, $$
поэтому
$$ 2^{y-3}=2^{3x-6}\Rightarrow y-3=3x-6 \Rightarrow y=3x-3. $$
Второе уравнение:
$$ 2\log_3(y-x)-\log_3 x=\log_3 (y-x)^2-\log_3 x =\log_3\frac{(y-x)^2}{x}=1. $$
Тогда
$$ \frac{(y-x)^2}{x}=3. $$
Подставим $$y=3x-3$$:
$$ \frac{(3x-3-x)^2}{x}=3 \Rightarrow \frac{(2x-3)^2}{x}=3. $$
$$ (2x-3)^2=3x \Rightarrow 4x^2-12x+9=3x \Rightarrow 4x^2-15x+9=0. $$
Решаем квадратное уравнение:
$$ D=15^2-4\cdot 4\cdot 9=225-144=81, $$
$$ x_{1,2}=\frac{15\pm 9}{8}. $$
Получаем:
$$ x_1=3,\quad x_2=\frac34. $$
Тогда
$$ y_1=3\cdot 3-3=6,\quad y_2=3\cdot \frac34-3=-\frac34. $$
Пара $$\left(\frac34,-\frac34\right)$$ не подходит, так как $$y-x<0$$. Остаётся решение $$ (3;6) $$.
б) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 2^y=4^{x-3},\\ 2\log_2(x-y)-\log_2 y=1. \end{cases} $$
Из области определения:
$$ x-y>0,\quad y>0. $$
Значит, $$x>y$$ и $$y>0$$.
Преобразуем первое уравнение:
$$ 4^{x-3}=(2^2)^{x-3}=2^{2x-6}, $$
поэтому
$$ 2^y=2^{2x-6}\Rightarrow y=2x-6. $$
Второе уравнение:
$$ 2\log_2(x-y)-\log_2 y =\log_2 (x-y)^2-\log_2 y =\log_2\frac{(x-y)^2}{y}=1. $$
Тогда
$$ \frac{(x-y)^2}{y}=2. $$
Подставим $$y=2x-6$$:
$$ \frac{(x-2x+6)^2}{2x-6}=2 \Rightarrow \frac{(6-x)^2}{2x-6}=2. $$
$$ (6-x)^2=4x-12 \Rightarrow x^2-16x+48=0. $$
Решаем уравнение:
$$ D=16^2-4\cdot 48=256-192=64, $$
$$ x_{1,2}=\frac{16\pm 8}{2}. $$
Получаем:
$$ x_1=12,\quad x_2=4. $$
Тогда
$$ y_1=2\cdot 12-6=18,\quad y_2=2\cdot 4-6=2. $$
Обе пары не удовлетворяют условию $$x>y$$? Проверим: $$12>18$$ — нет, $$4>2$$ — да, но подстановка в первое уравнение даёт $$2^2=4^{1}$$, верно. Значит, подходит только пара $$ (4;2) $$.