Упр.227 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}3^{x^2-2xy}=1,\\ \frac{1}{2}\log_3(y+2)=\log_3(5x-2).\end{cases}$$
2. б) $$\begin{cases}2^{y^2-3xy}=1,\\ \frac{1}{2}\log_2(x+1)=\log_2(3y-5).\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 3^{x^2-2xy}=1,\\ 2\log_3(y+2)=\log_3(5x-2). \end{cases}$$

Так как $$3^t=1$$ только при $$t=0$$, получаем

$$x^2-2xy=0.$$

Из второго уравнения:

$$2\log_3(y+2)=\log_3(5x-2)\;\Longrightarrow\;\log_3\bigl((y+2)^2\bigr)=\log_3(5x-2),$$

значит

$$\begin{cases} x^2-2xy=0,\\ (y+2)^2=5x-2. \end{cases}$$

С учётом ОДЗ:

$$y+2>0,\quad 5x-2>0,$$

то есть

$$y>-2,\quad x>\frac25.$$

Первое уравнение даёт

$$x(x-2y)=0.$$

Если $$x=0$$, то из второго уравнения получаем $$(y+2)^2=-2$$, что невозможно.

Значит, $$x=2y$$. Подставим во второе уравнение:

$$(y+2)^2=5(2y)-2=10y-2.$$

Тогда

$$y^2+4y+4=10y-2,$$

$$y^2-6y+6=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=36-24=12,$$

$$y=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt3.$$

Проверяем ОДЗ: оба значения подходят. Тогда

$$x=2y,$$

откуда

$$x=6\pm2\sqrt3.$$

Получаем решения:

$$\left(6-2\sqrt3;\,3-\sqrt3\right),\quad \left(6+2\sqrt3;\,3+\sqrt3\right).$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 2^{y^2-3xy}=1,\\ 2\log_2(x+1)=\log_2(3y-5). \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$y^2-3xy=0,$$

то есть

$$y(y-3x)=0.$$

Из второго уравнения:

$$2\log_2(x+1)=\log_2(3y-5)\;\Longrightarrow\;\log_2\bigl((x+1)^2\bigr)=\log_2(3y-5),$$

значит

$$\begin{cases} y^2-3xy=0,\\ (x+1)^2=3y-5. \end{cases}$$

ОДЗ:

$$x+1>0,\quad 3y-5>0,$$

то есть

$$x>-1,\quad y>\frac53.$$

Если $$y=0$$, то ОДЗ не выполняется. Значит, $$y=3x$$. Подставим во второе уравнение:

$$(x+1)^2=9x-5,$$

$$x^2+2x+1=9x-5,$$

$$x^2-7x+6=0.$$

Решаем:

$$D=49-24=25,$$

$$x=\frac{7\pm5}{2}.$$

Получаем

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=6.$$

Тогда

$$y=3x,$$

то есть

$$y=3 \quad \text{или} \quad y=18.$$

Оба решения подходят.

Ответ

а) $$\left(6-2\sqrt3;\,3-\sqrt3\right),\ \left(6+2\sqrt3;\,3+\sqrt3\right)$$

б) $$\left(1;\,3\right),\ \left(6;\,18\right)$$