Упр.226 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

4^2y + 3^2x=82
3x-4y=8;
б) система
3y + 5^2x=26
5x-3^0,5y=4.

а) Обозначим $$3^x=a,\quad 4^y=b,$$ где $$a>0,\ b>0.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} a^2+b^2=82,\\ a-b=8. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$a=8+b.$$ Подставим в первое:

$$ (8+b)^2+b^2=82 $$

$$ 64+16b+b^2+b^2=82 $$

$$ 2b^2+16b-18=0 $$

$$ b^2+8b-9=0 $$

$$ D=8^2-4\cdot 1\cdot(-9)=100 $$

$$ b_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{2} $$

Получаем $$b_1=1,\ b_2=-9.$$ Так как $$b>0,$$ то $$b=1.$$ Тогда

$$ a=8+b=9. $$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ 3^x=9,\quad 4^y=1. $$

Отсюда

$$ x=2,\quad y=0. $$

б) Обозначим $$5^x=a,\quad 3^y=b,$$ где $$a>0,\ b>0.$$ Тогда система имеет вид

$$ \begin{cases} a^2+b^2=26,\\ a-b=4. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$a=4+b.$$ Подставим в первое:

$$ (4+b)^2+b^2=26 $$

$$ 16+8b+b^2+b^2=26 $$

$$ 2b^2+8b-10=0 $$

$$ b^2+4b-5=0 $$

$$ D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=36 $$

$$ b_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2} $$

Получаем $$b_1=1,\ b_2=-5.$$ Так как $$b>0,$$ то $$b=1.$$ Тогда

$$ a=4+b=5. $$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ 5^x=5,\quad 3^y=1. $$

Отсюда

$$ x=1,\quad y=0. $$

Ответ

а) $$\left(2;0\right)$$; б) $$\left(1;0\right)$$.