Упр.225 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 225

Подробный ответ

Обозначим $$t=\sqrt{xy}.$$ Тогда первое уравнение системы преобразуется к виду

$$\frac{4\sqrt{xy}+xy+3}{\sqrt{xy}+3}=6.$$

Подставим $$t$$:

$$\frac{4t+t^2+3}{t+3}=6.$$

Умножим на $$t+3$$:

$$t^2+4t+3=6t+18,$$

$$t^2-2t-15=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64,$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=-3,\quad t_2=5.$$

Так как $$t=\sqrt{xy}\ge 0,$$ значение $$t=-3$$ не подходит. Значит,

$$\sqrt{xy}=5,$$

то есть

$$xy=25.$$

Тогда из второго уравнения системы:

$$2x-y+\sqrt{xy}=10,$$

$$2x-y+5=10,$$

$$2x-y=5.$$

Решим систему

$$ \begin{cases} xy=25,\\ 2x-y=5. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$y=2x-5.$$ Подставим в первое:

$$x(2x-5)=25,$$

$$2x^2-5x-25=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-25)=225,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 15}{4}.$$

Тогда

$$x_1=5,\quad x_2=-\frac{5}{2}.$$

Проверим:

при $$x=5$$ имеем $$y=2\cdot 5-5=5;$$

при $$x=-\frac{5}{2}$$ получаем $$y=-10,$$ но тогда $$xy=25$$ выполняется, однако из уравнения $$\sqrt{xy}=5$$ следует, что $$x$$ и $$y$$ должны давать допустимое значение корня; пара $$\left(-\frac{5}{2},-10\right)$$ подходит по первому уравнению, но во втором уравнении системы:

$$2x-y+\sqrt{xy}=10$$

$$2\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)-(-10)+5=10,$$

то есть тоже подходит. Следовательно, обе пары являются решениями системы.